Giải bài tập Toán 7 Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học 

Video giải bài tập Toán 7 Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học 

Mở đầu

Mở đầu trang 29 Toán 7 Tập 1: Hình tròn: Tớ ghép được một hình vuông có diện tích bằng 2 dm².

Hình vuông: Không biết số nào biểu thị độ dài cạnh của hình vuông đó nhỉ?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Theo khái niệm căn bậc hai số học thì ta có độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 2 dm² là $\sqrt{2}$ dm.

Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 2 dm² là $\sqrt{2}$ dm. 

1. Số vô tỉ

HĐ 1 trang 29 Toán 7 Tập 1:

Cắt một hình vuông có cạnh bằng 2 dm, rồi cắt nó thành bốn tam giác vuông bằng nhau dọc theo hai đường chéo của hình vuông (H.2.2a)

Lời giải:

Để cắt hình vuông có cạnh 2 dm thành bốn tam giác vuông bằng nhau dọc theo hai đường chéo của hình vuông ta thực hiện cắt như hình vẽ sau:

HĐ 2 trang 29 Toán 7 Tập 1: Lấy hai trong bốn tam giác nhận được ở trên ghép thành một hình vuông (H.2.2b). Em hãy tính diện tích hình vuông nhận được.

Lời giải:

Từ bốn tam giác vuông nhận được theo cách cắt ở hoạt động 1 ta ghép tam giác 2 và tam giác 4 với nhau để được hình vuông như hình vẽ dưới đây:

Diện tích của hình vuông lớn ban đầu có cạnh 2 dm là: 2.2 = 4 (dm²).

Sau khi chia hình vuông đó thành 4 tam giác vuông bằng nhau thì diện tích của mỗi tam giác vuông đó là: 4 : 4 = 1 (dm²).

Ghép 2 trong 4 tam giác bằng nhau (như hình vẽ ghép tam giác 2 và tam giác 4 với nhau) để được một hình vuông thì hình vuông này có diện tích bằng 2 lần diện tích của một tam giác vuông.

Do đó diện tích hình vuông nhận được sau khi ghép là: 2.1 = 2 (dm²).

Vậy diện tích hình vuông nhận được sau khi ghép hai tam giác vuông bằng nhau trong hoạt động 1 là: 2 dm². 

HĐ 3 trang 29 Toán 7 Tập 1: Dùng thước có vạch chia để đo độ dài cạnh hình vuông nhận được trong HĐ2. Độ dài cạnh hình vuông này bằng bao nhiêu đềximét?

Lời giải:

Dùng thước có vạch chia để đo độ dài cạnh hình vuông nhận được trong HĐ2 ta thấy độ dài cạnh hình vuông đó xấp xỉ bằng 1,4 dm. 

Vận dụng 1 trang 30 Toán 7 Tập 1: Người xưa đã tính đường kính thân cây theo quy tắc “quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”, tức là lấy chu vi thân cây chia làm 8 phần bằng nhau (quân bát); bớt đi ba phần (phát tam) còn lại 5 phần (tồn ngũ) rồi chia đôi kết quả (quân nhị). Hãy cho biết người xưa đã ước lượng số π bằng bao nhiêu.

Lời giải:

Gọi chu vi thân cây và đường kính thân cây lần lượt là C và d.

Ta đã biết thân cây là hình tròn, khi đó công thức tính chu vi của thân cây là:

C = d.π suy ra π = C : d.

Theo quy tắc “quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị” thì chu vi thân cây chia làm 8 phần, bớt đi 3 phần còn lại là 5 phần, rồi chia đôi kết quả ta sẽ tính được đường kính của thân cây.

Do đó khi chia chu vi thân cây thành 8 phần thì ta được mỗi phần chu vi của thân cây là $\frac{C}{8}$, phần chu vi thân cây bớt đi ba phần là $\frac{3C}{8}$, và 5 phần chu vi thân cây còn lại là $\frac{5C}{8}$ 

Chia đôi kết quả thu được ở trên thì đường kính thân cây là: $d=\frac{5C}{8}:2=\frac{5C}{8}.\frac{1}{2}=\frac{5C}{16}.$

Khi đó số π bằng: π  = C : d = $C:\left(\frac{5C}{16}\right)=C.\frac{16}{5C}=\frac{16}{5}.$

Vậy người xưa đã ước lượng số π bằng $\frac{16}{5}.$ 

2. Căn bậc hai số học

Luyện tập 1 trang 30 Toán 7 Tập 1: Tính:

a) $\sqrt{16}$                      

b) $\sqrt{81}$  

c) $\sqrt{{2021}^2}$

Lời giải:

a) Vì 16 = 4² và 4 > 0 nên $\sqrt{16}=4.$

Vậy $\sqrt{16}=4.$

b) Vì 81 = 9² và 9 > 0 nên $\sqrt{81}=9.$

Vậy $\sqrt{81}=9.$

c) Vì 2021 > 0 nên $\sqrt{{2021}^2}=2021.$

Vậy $\sqrt{{2021}^2}=2021.$ 

Vận dụng 2 trang 30 Toán 7 Tập 1: Sàn thi đấu bộ môn cử tạ có dạng một hình vuông, diện tích 144 m². Em hãy tính chu vi của sàn thi đấu đó.

Lời giải:

Công thức tính diện tích hình vuông có cạnh a là: a².

Do vậy để tính được cạnh sàn thi đấu hình vuông có diện tích 144 m² ta cần tìm căn bậc hai số học của 144.

Vì 144 = 12² và 12 > 0 nên cạnh của sàn thi đấu hình vuông dài 12 m.

Chu vi của sàn thi đấu hình vuông đó là: 4.12 = 48 (m).

Vậy chu vi của sàn thi đấu hình vuông là 48 m. 

3. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

Luyện tập 2 trang 31 Toán 7 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay tính các căn bậc hai số học sau (làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005, nếu cần).

a) $\sqrt{15}$                         

b) $\sqrt{2,56}$                  

c) $\sqrt{17256}$                    

d) $\sqrt{793881}$

Lời giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta ấn các phím theo thứ tự sau:

Trên màn hình máy tính cầm tay ta thấy kết quả là 3,872983346…

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005 ta được $\sqrt{15}\approx 3,87.$

Vậy căn bậc hai số học của $\sqrt{15}$ xấp xỉ bằng 3,87.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta ấn các phím theo thứ tự sau:

Trên màn hình máy tính cầm tay ta thấy kết quả là 1,6.

Vậy căn bậc hai số học của $\sqrt{2,56}$ là 1,6.

c) Sử dụng máy tính cầm tay ta ấn các phím theo thứ tự sau:

Trên màn hình máy tính cầm tay ta thấy kết quả là 131,362095…

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005 ta được là $\sqrt{17 256}\approx 131,36.$

Vậy căn bậc hai số học của $\sqrt{17 256}$ xấp xỉ bằng 131,36.

d) Sử dụng máy tính cầm tay ta ấn các phím theo thứ tự sau: 

Trên màn hình máy tính cầm tay ta nhận được kết quả là $\sqrt{793 881}=891.$

Vậy căn bậc hai số học của $\sqrt{793 881}$ là 891. 

Vận dụng 3 trang 31 Toán 7 Tập 1: Kim tự tháp Kheops là công trình kiến trúc nổi tiếng thế giới. Để xây dựng được công trình này, người ta phải sử dụng tới hơn 2,5 triệu mét khối đá, với diện tích đáy lên tới 52 198,16 m².

(Theo khoahoc.tv)

Biết rằng đáy của kim tự tháp Kheops có dạng một hình vuông. Tính độ dài cạnh đáy của kim tự tháp này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Theo đề bài, đáy của kim tự tháp Kheops có dạng một hình vuông, do vậy để tìm cạnh của hình vuông này ta sẽ tìm căn bậc hai số học của số 52 198,16.

Sử dụng máy tính cầm tay tính căn bậc hai số học của số 52 198,16 ta được kết quả hiện trên màn hình là 228,469 166….

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả nhận được đến chữ số thập phân thứ nhất ta có độ dài cạnh đáy của kim tự tháp là:$\sqrt{52198,16}\approx 228,5$ (m).

Vậy độ dài cạnh đáy dạng hình vuông của kim tự tháp Kheops xấp xỉ bằng 228,5 m. 

Bài tập

Bài 2.6 trang 32 Toán 7 Tập 1: Cho biết 153² = 23 409. Hãy tính $\sqrt{23 409}.$

Lời giải:

Vì 153² = 23 409 và 153 > 0 nên ta có $\sqrt{23 409}=153$

Vậy $\sqrt{23 409}=153$

Bài 2.7 trang 32 Toán 7 Tập 1: Từ các số là bình phương của 12 số tự nhiên đầu tiên, em hãy tìm căn bậc hai số học của các số sau:

a) 9;                               b) 16;

c) 81;                             d) 121.

Lời giải:

Theo đề bài, ta tính bình phương của 12 số tự nhiên đầu tiên và thấy rằng:

3² = 9; 4² = 16; 9² = 81; 11² = 121.

a) Vì 3² = 9 và 3 > 0 nên $\sqrt{9}=3$

Vậy căn bậc hai số học của 9 là 3.

b) Vì 4² = 16 và 4 > 0 nên $\sqrt{16}=4$

Vậy căn bậc hai số học của 16 là 4.

c) Vì  9² = 81 và 9 > 0 nên $\sqrt{81}=9$

Vậy căn bậc hai số học của 81 là 9.

d) Vì 11² = 121 và 11 > 0 nên $\sqrt{121}=11$      

Vậy căn bậc hai số học của 121 là 11. 

Bài 2.8 trang 32 Toán 7 Tập 1: Khi tìm căn bậc hai số học của một số tự nhiên ta thường phân tích số đó ra thừa số nguyên tố. Chẳng hạn:

Vì 324 = 2² . 3⁴ = (2.3²)² = 18² nên $\sqrt{324}=18.$

Tính căn bậc hai số học của 129 600.

Lời giải:

Ta phân tích số 129 600 ra thừa số nguyên tố như sau:

129 600 = 2⁶ . 3⁴ . 5² = 2^3.2.3^2.2.5² = (2³)².(3²)².5² = 8².9².5² = (8.9.5)² = 360².  

Vì 129 600 = 360² và 360 > 0 nên $\sqrt{129600}=360.$

Vậy căn bậc hai số học của 129 600 là 360.

Bài 2.9 trang 32 Toán 7 Tập 1: Tính độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng:

a) 81 dm²;                 

b) 3 600 m²;              

c) 1 ha.

Lời giải:

a) Để tính độ dài cạnh hình vuông có diện tích 81 dm², ta tìm căn bậc hai số học của số 81.

Ta có 81 = 9² và 9 > 0 nên $\sqrt{81}=9$.

Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích 81 dm² là 9 dm.

b) Để tính độ dài cạnh hình vuông có diện tích 3 600 m², ta đi tìm căn bậc hai số học của số 3 600.

Ta có 3600 = 60² và 60 > 0 nên $\sqrt{3600}=60$.

Vậy độ dài cạnh của hình vuông diện tích 3 600 m² là 60 m.

c) Đổi 1 ha = 1 hm² = 10 000 m².

Để tính độ dài cạnh hình vuông có diện tích 1 ha tức là 10 000 m², ta đi tìm căn bậc hai số học của số 10 000.

Ta có: 10 000 = 100² và 100 > 0 nên $\sqrt{10000}=100.$ 

Vậy độ dài cạnh của hình vuông diện tích 1 ha là 100 m. 

Bài 2.10 trang 32 Toán 7 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay tìm căn bậc hai số học của các số sau rồi làm tròn các kết quả với độ chính xác 0,005.

a) 3;                          

b) 41;    

c) 2 021.

Lời giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta ấn các phím theo thứ tự sau:

Trên màn hình máy tính cầm tay ta nhận được kết quả là 1,73205080757.

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005 ta được là $\sqrt{3}\approx 1,73.$

Vậy căn bậc hai số học của $\sqrt{3}$ xấp xỉ bằng 1,73.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta ấn các phím theo thứ tự sau:

Trên màn hình máy tính cầm tay ta nhận được kết quả là 6,40312423743.

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005 ta được $\sqrt{41}\approx 6,40$ Vậy căn bậc hai số học của $\sqrt{41}$ xấp xỉ bằng 6,40.

c) Sử dụng máy tính cầm tay ta ấn các phím theo thứ tự sau:

Trên màn hình máy tính cầm tay ta nhận được kết quả là 44,95553358598.

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005 ta được $\sqrt{2021}\approx 44,96.$

Vậy căn bậc hai số học của $\sqrt{2021}$ xấp xỉ bằng 44,96. 

Bài 2.11 trang 32 Toán 7 Tập 1: Biết rằng bình phương độ dài đường chéo của một hình chữ nhật bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh của nó. Một hình chữ nhật có chiều dài 8 dm và chiều rộng là 5 dm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu đềximét? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Theo đề bài, bình phương độ dài đường chéo của một hình chữ nhật bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh của nó.

Do vậy bình phương độ dài đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 8 dm và chiều rộng 5 dm là: 8² + 5² = 89.

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là căn bậc hai số học của 89, tức là $\sqrt{89}$ dm.

Sử dụng máy tính ta được kết quả hiện trên màn hình là $\sqrt{89}\approx 9,43398113206$.

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả đến hàng phần mười được $\sqrt{89}\approx 9,4.$

Vậy độ dài đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 8 dm và chiều rộng 5 dm xấp xỉ bằng 9,4 dm. 

Bài 2.12 trang 32 Toán 7 Tập 1: Để lát một mảnh sân hình vuông có diện tích 100 m², người ta cần dùng bao nhiêu viên gạch hình vuông có cạnh dài 50 cm (coi các mạch ghép là không đáng kể)?

Lời giải:

Muốn tính cần bao nhiêu viên gạch hình vuông để lát mảnh sân hình vuông, trước hết ta cần tính diện tích của mỗi viên gạch.

Diện tích một viên gạch hình vuông có cạnh dài 50 cm là: 50² = 2 500 (cm²).

Đổi 100 m² = 1 000 000 cm².

Số viên gạch cần dùng để lát sân là: 1 000 000 : 2 500 = 400 (viên).

Vậy người ta cần dùng 400 viên gạch để lát sân.