Giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

Video giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

1. Khái niệm số thực và trục số thực

Luyện tập 1 trang 33 Toán 7 Tập 1:

a) Cách viết nào sau đây là đúng: $\sqrt{2}\in \mathbb{Q};\pi \in \mathrm{𝕀};15\in ℝ.$ 

b) Viết số đối của các số: 5,08(299); $-\sqrt{5}.$

Lời giải:

a)

+) Ta có $\sqrt{2}\approx 1,41421356237$… là số vô tỉ nên $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$

Vậy cách viết $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ là cách viết sai.

+) Ta có $\pi \approx 3,141592655359$… là số vô tỉ nên $\pi \in \mathrm{𝕀}$ .

Vậy cách viết $\pi \in \mathrm{𝕀}$ là cách viết đúng.

+) Ta có số 15 là số hữu tỉ nên $15\in ℝ.$

Vậy cách viết $15\in ℝ$ là cách viết đúng.

b) Số đối của số 5,08(299) là –5,08(299).

Số đối của số $-\sqrt{5}$ là $-\left(-\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}.$ 

Câu hỏi trang 34 Toán 7 Tập 1: Điểm nào trong Hình 2.4 biểu diễn số $-\sqrt{2}?$ Em có nhận xét gì về điểm biểu diễn của hai số đối nhau?

Lời giải:

Quan sát Hình 2.4 ta thấy số $-\sqrt{2}$ được biểu diễn bởi điểm N.

Nhận xét:

Số đối của số $-\sqrt{2}$ là số $\sqrt{2}$, số $\sqrt{2}$ được biểu diễn bởi điểm M.

Điểm M và điểm N là hai điểm cách đều gốc O một khoảng bằng $\sqrt{2}$

Do vậy điểm biểu diễn của hai số đối nhau cách đều gốc O. 

Luyện tập 2 trang 34 Toán 7 Tập 1: Cho biết nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 1 và 3 thì cạnh huyền của tam giác bằng $\sqrt{10}.$ Em hãy vẽ điểm biểu diễn số $-\sqrt{10}$ trên trục số.

Lời giải:

Vẽ hình chữ nhật OABC có 2 cạnh bằng 3 và 1 như hình vẽ dưới đây.

Theo bài, cạnh huyền OB của tam giác vuông OBC (có hai cạnh góc vuông là 3 và 1) có độ dài là $\sqrt{10}$ tức là OB = $\sqrt{10}$

Trên cạnh OC vẽ trục số với gốc là điểm O có độ dài đơn vị là OC = 1.

Ta vẽ đường tròn tâm O (O là gốc trục số), bán kính OB cắt tia Ox tại điểm D.

Khi đó OD = OB = $\sqrt{10}$

Ở bên trái gốc O lấy điểm E sao cho OE = OD = $\sqrt{10}$

Do đó điểm E là điểm biểu diễn số -$\sqrt{10}$ 

2. Thứ tự trong tập hợp các số thực

Luyện tập 3 trang 35 Toán 7 Tập 1: So sánh:

a) 1,313233… và 1,(32);     

b) $\sqrt{5}$ và 2,36 (có thể dùng máy tính cầm tay để tính $\sqrt{5}$).

Lời giải:

a) Ta có: 1,(32) là dạng viết rút gọn của số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 32.

Do đó 1,(32) = 1,323232…

Vì 1,313233… < 1,323232… nên 1,313233… < 1,(32).

Vậy 1,313233… < 1,(32).

b) Sử dụng máy tính cầm tay tính $\sqrt{5}$ ta được kết quả hiện trên màn hình là 2,236067977.

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả với độ chính xác 0,0005 được $\sqrt{5}\approx 2,236.$

Vì 2,236 < 2,36 nên $\sqrt{5}<2,36.$

Vậy $\sqrt{5}<2,36.$ 

3. Giá trị tuyệt đối của một số thực

HĐ 1 trang 35 Toán 7 Tập 1: Biểu diễn các số 3 và –2 trên trục số rồi cho biết mỗi điểm ấy nằm cách gốc O bao nhiêu đơn vị.

Lời giải:

Các số 3 và –2 được biểu diễn lần lượt bởi điểm A và điểm B trên trục số như hình dưới đây:

Điểm A nằm sau gốc O (nằm bên phải gốc O) và cách gốc O một khoảng bằng 3 đơn vị.

Điểm B nằm bên trước gốc O (nằm bên trái gốc O) và cách gốc O một khoảng bằng 2 đơn vị.

HĐ 2 trang 35 Toán 7 Tập 1: Không vẽ hình, hãy cho biết khoảng cách của mỗi điểm sau đến gốc O: –4; –1; 0; 1; 4.

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm –4 đến gốc O là 4 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm –1 đến gốc O là 1 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm 0 đến gốc O là 0 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm 1 đến gốc O là 1 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm 4 đến gốc O là 4 đơn vị. 

Câu hỏi trang 35 Toán 7 Tập 1: Từ HĐ1 và HĐ2, hãy tìm giá trị tuyệt đối của các số: 3; –2; 0; 4 và –4.

Lời giải:

Giá trị tuyệt đối của 3 là khoảng cách từ điểm 3 đến gốc O, do đó |3| = 3.

Giá trị tuyệt đối của –2 là khoảng cách từ điểm –2 đến gốc O, do đó |–2| = 2.

Giá trị tuyệt đối của 0 là khoảng cách từ điểm 0 đến gốc O, do đó |0| = 0.

Giá trị tuyệt đối của 4 là khoảng cách từ điểm 4 đến gốc O, do đó |4| = 4.

Giá trị tuyệt đối của –4 là khoảng cách từ điểm –4 đến gốc O, do đó |–4| = 4. 

Câu hỏi trang 36 Toán 7 Tập 1: Minh viết |–2,5| = –2,5 đúng hay sai?

Lời giải:

Vì –2,5 < 0 nên |–2,5| = –(–2,5) = 2,5.

Vậy Minh viết |–2,5| = –2,5 là sai. 

Luyện tập 4 trang 36 Toán 7 Tập 1: Tính:

a) |–2,3|;                        b) $\left|\frac{7}{5}\right|;$         

c) |–11|;                          d) $\left|-\sqrt{8}\right|.$

Lời giải:

a) Ta có: –2,3 < 0 suy ra |–2,3| = –(–2,3) = 2,3.

Vậy |–2,3| = 2,3.

b) Ta có: $\frac{7}{5}>0$ suy ra $\left|\frac{7}{5}\right|=\frac{7}{5}.$

Vậy $\left|\frac{7}{5}\right|=\frac{7}{5}.$

c) Ta có: –11 < 0 suy ra |–11| = –(–11) = 11.

Vậy |–11| = 11.

d) Ta có: $-\sqrt{8}$ < 0 suy ra $\left|-\sqrt{8}\right|=-\left(-\sqrt{8}\right)=\sqrt{8}.$

Vậy $\left|-\sqrt{8}\right|=\sqrt{8}.$ 

Thử thách nhỏ trang 36 Toán 7 Tập 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp $A=\left\{x|x\in \mathbb{Z},\left|x\right|<5\right\}.$

Lời giải:

Vì |x| < 5, mà |x| ≥ 0 nên 0 ≤ |x| < 5.

Suy ra |x| $\in$ {0; 1; 2; 3; 4}.  

Lại có $x\in \mathbb{Z}$.

Suy ra x $\in${–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Do đó A = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Vậy A = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}. 

Bài tập

Bài 2.13 trang 36 Toán 7 Tập 1: Xét tập hợp A = {7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\frac{4}{7};\sqrt{15};-\sqrt{81}$}. Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết tập hợp B gồm các số hữu tỉ thuộc tập A và tập hợp C gồm các số vô tỉ thuộc tập A.

Lời giải:

+) Số 7,1 viết được dưới dạng phân số: $7,1=\frac{71}{10}$ nên là số hữu tỉ.

+) Số –2,(61) viết dưới dạng rút gọn của số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 61 nên –2,(61) là số hữu tỉ.

+) Số 0 là số hữu tỉ.

+) Số 5,14 viết được dưới dạng phân số: $5,14=\frac{514}{100}=\frac{257}{50}$ nên là số hữu tỉ.

+) Số $\frac{4}{7}$viết dưới dạng phân số nên là số hữu tỉ.

+) Sử dụng máy tính cầm tay ta được kết quả của $\sqrt{15}$ hiện trên màn hình máy tính là 3,872983346 hay $\sqrt{15}=3,872983346$ nên $\sqrt{15}$ là số vô tỉ.

+) Ta có 81 = 9² và 9 > 0 nên $\sqrt{81}=9,$ suy ra $-\sqrt{81}=-9,$ là số hữu tỉ.

Khi đó các số hữu tỉ thuộc tập A là: 7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\sqrt{81}=9,$

Các số vô tỉ thuộc tập A là: $\sqrt{15}$

Vậy  B = {7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\frac{4}{7};-\sqrt{81}$} và $C=\left\{\sqrt{15}\right\}.$ 

Bài 2.14 trang 36 Toán 7 Tập 1: Gọi A' là tập hợp các số đối của các số thuộc tập hợp A trong Bài tập 2.13. Liệt kê các phần tử của A'.

Lời giải:

Tập hợp A = {7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\frac{4}{7};\sqrt{15};-\sqrt{81}$}.

Số đối của 7,1 là –7,1.

Số đối của –2,(61) là (2,61.)

Số đối của 0 là 0.

Số đối của 5,14 là –5,14.

Số đối của $\frac{4}{7}$ là $-\frac{4}{7}$

Số đối của $\sqrt{15}$ là $-\sqrt{15}$

Số đối của $-\sqrt{81}$ là $\sqrt{81}$

Vậy tập hợp các số đối của các số thuộc tập hợp A là:

$A^{\text{'}}=\left\{-7,1;2,\left(61\right);0;-5,14;-\frac{4}{7};-\sqrt{15};\sqrt{81}\right\}.$ 

Bài 2.15 trang 36 Toán 7 Tập 1: Các điểm A, B, C, D trong hình sau biểu diễn những số thực nào?

a) 

b) 

Lời giải:

a) Quan sát hình ta thấy đoạn thẳng đơn vị (từ gốc O đến số 1) được chia thành 10 đoạn bằng nhau, mỗi đoạn đó lại được chia thành 2 đoạn bằng nhau, như vậy đoạn thẳng đơn vị được chia thành 20 đoạn đơn vị mới có độ dài bằng nhau và bằng $\frac{1}{20}$ độ dài đoạn thẳng đơn vị cũ.

Điểm A nằm bên phải gốc O (nằm sau gốc O) và cách O một khoảng bằng 13 đoạn đơn vị mới nên điểm A chỉ số $\frac{13}{20}$.

Điểm B hai nằm ở bên phải gốc O (nằm sau gốc O) và cách O một khoảng bằng 19 đoạn đơn vị mới nên điểm B chỉ số $\frac{19}{20}$.

b) Ta có 4,7 – 4,6 = 0,1.

Trên hình ta thấy đoạn thẳng từ 4,6 đến 4,7 (có độ dài 0,1) được chia thành 10 đoạn bằng nhau, ta sẽ chia mỗi đoạn đó thành 2 đoạn bằng nhau, khi đó đoạn thẳng từ 4,6 đến 4,7 đã được chia thành 20 phần bằng nhau, mỗi đoạn bằng $\frac{0,1}{20}=0,005.$

Điểm C nằm ở bên phải điểm 4,6 (nằm sau điểm 4,6) và cách điểm 4,6 một khoảng bằng 3 đoạn 0,005 nên điểm C chỉ số 4,6 + 3.0,005 = 4,615.

Điểm D nằm ở bên phải điểm 4,6 (nằm sau điểm 4,6) và cách điểm 4,6 một khoảng bằng 10 đoạn 0,005 nên điểm D chỉ số 4,6 + 10.0,005 = 4,65. 

Bài 2.16 trang 36 Toán 7 Tập 1: Tính:

a) |–3,5|;                        b) $\left|\frac{-4}{9}\right|;$       

c) |0|;                              d) |2,0(3)|.

Lời giải:

a) Vì –3,5 < 0 nên |–3,5| = –(–3,5) = 3,5.

Vậy |–3,5| = 3,5.

b) Vì $\frac{-4}{9}<0$ nên $\left|\frac{-4}{9}\right|=-\left(-\frac{4}{9}\right)=\frac{4}{9}.$

Vậy $\left|\frac{-4}{9}\right|=\frac{4}{9}.$

c) Vì giá trị tuyệt đối của số 0 bằng chính nó nên |0| = 0.

Vậy |0| = 0.

d) Do 2,0(3) > 0 nên |2,0(3)| = 2,0(3).       

Vậy |2,0(3)| = 2,0(3). 

Bài 2.17 trang 36 Toán 7 Tập 1: Xác định dấu và giá trị tuyệt đối của các số sau:

a) a = 1,25;

b) b = –4,1;

c) c = –1,414213562…

Lời giải:

a) Vì a = 1,25 > 0 nên dấu của a là dấu dương. Do đó |a| = |1,25| = 1,25.

Vậy |a| = 1,25.

b) Vì b = –4,1 < 0 nên dấu của b là dấu âm. Do đó |b| = |–4,1| = –(–4,1) = 4,1.

Vậy |b| = 4,1.

c) Vì c = –1,414213562… < 0 nên dấu của c là dấu âm.

Do đó |c| = |–1,414213562…| = –(–1,414213562…) = 1,414213562…

Vậy |c| = 1,414213562… 

Bài 2.18 trang 36 Toán 7 Tập 1: Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn điều kiện |x| = 2,5.

Lời giải:

+) Nếu x ≥ 0 thì |x| = x.

Mà theo bài ta có |x| = 2,5 nên x = 2,5.

+) Nếu x < 0 thì |x| = –x.  

Mà theo bài ta có |x| = 2,5  nên –x = 2,5 suy ra x = –2,5.

Vậy x = –2,5 hoặc x = 2,5.