Giải bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác 

Video giải bài tập Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác 

Mở đầu

Mở đầu trang 70 Toán 7 Tập 1: Trong thực tế, nhiều khi ta không thể đo được hết các cạnh của hai tam giác để khẳng định được chúng có bằng nhau hay không. Khi đó, có cách nào khác giúp ta biết được điều đó?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ngoài cách sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh để khẳng định hai tam giác bằng nhau thì có thể sử dụng hai trường hợp bằng nhau khác để khẳng định hai tam giác bằng nhau.

Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 

1. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

HĐ 1 trang 70 Toán 7 Tập 1: Vẽ $\widehat{xAy}=60°.$ Lấy điểm B trên tia Ax và điểm C trên tia Ay sao cho: AB = 4 cm, AC = 3 cm.

Nối điểm B với điểm C ta được tam giác ABC (H.4.27).

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.

Lời giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC ta được kết quả BC = 3,6 cm. 

HĐ 2 trang 70 Toán 7 Tập 1: Vẽ thêm tam giác A'B'C' với $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=60°,$A'B' = 4 cm và A'C' = 3 cm (H.4.28).

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác ABC và A'B'C'.

- Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

- Độ dài các cạnh BC và B'C' của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh AB và A'B' của hai tam giác các bạn khác vẽ không?

- Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?

Lời giải:

+) Sau khi dùng thước thẳng có vạch chia (hoặc compa) ta thấy hai tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$(c.c.c).

+) Độ dài các cạnh BC và B'C' của hai tam giác em vẽ bằng các cạnh BC và B'C' của hai tam giác các bạn khác vẽ.

+) Hai tam giác em vừa vẽ bằng hai tam giác các bạn khác vẽ.

Câu hỏi trang 71 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?

Lời giải:

Hai tam giác ABC và tam giác MNP có:

AB = MN, $\widehat{BAC}=\widehat{NMP},$ AC = MP (với $\widehat{BAC} ,\widehat{ NMP}$ lần lượt là góc xen giữa hai cạnh tương ứng bằng nhau của mỗi tam giác).

Do đó $\Delta ABC=\Delta MNP$ (c.g.c).  

Luyện tập 1 trang 71 Toán 7 Tập 1: Hai tam giác ABC và MNP trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác cho tam giác MNP ta có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°.$ 

Suy ra $\widehat{M}=180°-\widehat{N}-\widehat{P}$ 

$\widehat{M}=180°-50°-70°$ 

$\widehat{M}=60°.$ 

Do đó $\widehat{A}=\widehat{M}\left(=60°\right).$ 

Xét hai tam giác ABC và MNP có:

AB = MN (theo giả thiết);

$\widehat{A}=\widehat{M}$ (chứng minh trên);

AC = MP (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta MNP$ (c.g.c).  

Vận dụng trang 71 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 4.32, biết $\widehat{OAB}=\widehat{O\text{D}C},$ OA = OD và AB = CD. Chứng minh rằng:

a) AC = DB;

b) $\Delta OAC=\Delta O\text{DB.}$

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

a) Ta có: AC = AB + BC; BD = BC + CD.

Mà AB = CD (theo giả thiết), do đó AC = DB.

b) Xét tam giác OAC và tam giác ODB có:

OA = OD (theo giả thiết);

$\widehat{OAC}=\widehat{ODB}$ (do $\widehat{OAB}=\widehat{O\text{D}C}$ (theo giả thiết));

AC = DB (chứng minh câu a).

Vậy $\Delta OAC=\Delta O\text{DB}$ (c.g.c). 

2. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác:  góc - cạnh - góc (g.c.g)

HĐ 3 trang 72 Toán 7 Tập 1: Vẽ đoạn thẳng BC = 3 cm. Vẽ hai tia Bx và Cy sao cho $\widehat{xBC}=80°,\widehat{yCB}=40°$ như Hình 4.33.

Lấy giao điểm A của hai tia Bx và Cy, ta được tam giác ABC (H.4.33).

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.

Lời giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh AB và AC ta được:

AB = 2,2 cm; AC = 3,4 cm.

HĐ 4 trang 72 Toán 7 Tập 1: Vẽ thêm tam giác $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ sao cho B'C' = 3 cm, $\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=80°,$$\widehat{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=40°$(H.4.34).

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác ABC và A'B'C'. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Lời giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo độ dài cạnh A'B' và A'C'  được:

A'B' = 2,2 cm, A'C' = 3,4 cm.

Do đó AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'.

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (c.c.c).  

Câu hỏi trang 72 Toán 7 Tập 1: Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?

Lời giải:

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\widehat{ABC}=\widehat{MNP};$ BC = NP; $\widehat{ACB}=\widehat{MPN}.$ 

Vậy $\Delta ABC=\Delta MNP$ (g.c.g).

Các tam giác còn lại tuy có các góc bằng nhau nhưng các cạnh bằng nhau lại không phải cạnh xen giữa các góc. 

Luyện tập 2 trang 73 Toán 7 Tập 1: Chứng minh hai tam giác ABD và CBD trong Hình 4.37 bằng nhau.

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

$\widehat{ADB}=\widehat{CDB}$ (theo giả thiết);

DB là cạnh chung;

$\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABD=\Delta CBD$ (g.c.g).

Thử thách nhỏ trang 73 Toán 7 Tập 1: Bạn Lan nói rằng: “Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” (H.4.38). Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' ta có:

Trong tam giác ABC: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°$, suy ra $\widehat{BCA}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)$

Trong tam giác A'B'C': $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=180°$,

Suy ra $\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=180°-\left(\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},$ $\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

Do đó $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Nên $180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180°-\left(\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)$

Hay $\widehat{BCA}=\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.$

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

$\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết);

AC = A'C' (theo giả thiết);

$\widehat{BCA}=\widehat{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$(chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g.c.g). 

Vậy bạn Lan nói đúng.

Bài tập

Bài 4.12 trang 73 Toán 7 Tập 1: Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Lời giải:

+) Hình 4.39 a)

Xét tam giác ABD và tam giác CDB có:

AB = CD (theo giả thiết);

$\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$ (theo giả thiết);

BD là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABD=\Delta CDB$ (c.g.c).

+) Hình 4.39 b)

Xét tam giác OAD và tam giác OCB có:

OA = OC (theo giả thiết);

$\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (hai góc đối đỉnh);

OD = OB (theo giả thiết).

Vậy $\Delta OAD=\Delta OCB$ (c.g.c).  

Bài 4.13 trang 73 Toán 7 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như Hình 4.40.

a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.

b) Chứng minh rằng $\Delta DAB=\Delta BC\text{D}.$

Lời giải:

a) Hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau là:

 +) Tam giác OAB và tam giác OCD

Giải thích:

OA = OC (giải thuyết)

OB = OD (giải thuyết)

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta OAB=\Delta OCD$ (c – g – c)

+) Tam giác OAD và tam giác OCB.

Giải thích:

OA = OC (giải thuyết)

OD = OB (giải thuyết)

$\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta OAD=\Delta OCB$ (c – g – c)

b) $\Delta OAB=\Delta OCD$ (Chứng minh ở câu a) nên $\widehat{ABO}=\widehat{CDO}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{ABD}=\widehat{CDB}.$ 

$\Delta OAD=\Delta OCB$(Chứng minh ở câu a) nên $\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}.$ 

+) Xét tam giác DAB và tam giác BCD có:

$\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$ (chứng minh trên);

BD là cạnh chung;

$\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta DAB=\Delta BCD$ (g.c.g). 

Bài 4.14 trang 73 Toán 7 Tập 1: Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BCE trong Hình 4.41 bằng nhau.

Lời giải:

Chứng minh (hình vẽ trên):

Xét tam giác ADE và tam giác BCE có:

$\widehat{DAE}=\widehat{CBE}$ (theo giả thiết);

AE = BE (theo giả thiết);

$\widehat{AED}=\widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh).

Vậy $\Delta ADE=\Delta BCE$ (g.c.g). 

Bài 4.15 trang 73 Toán 7 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB song song và bằng đoạn thẳng CD như Hình 4.42. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Hai điểm G và H lần lượt nằm trên AB và CD sao cho G, E, H thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABE=\Delta DCE;$                             

b) EG = EH.

Lời giải:

a) Từ AB // CD (theo giả thiết) suy ra $\widehat{DAB}=\widehat{ADC}$ (hai góc so le trong) và $\widehat{ABC}=\widehat{DCB}$ (hai góc so le trong).

Hay $\widehat{EAB}=\widehat{EDC}$ và $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}.$

Xét tam giác ABE và tam giác DCE có:

$\widehat{EAB}=\widehat{EDC}$ (chứng minh trên);

AB = DC (theo giả thiết);

$\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABE=\Delta DCE$ (g.c.g).

b) Từ $\Delta ABE=\Delta DCE$(chứng minh câu a) suy ra AE = DE (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác AEG và tam giác DEH có:

$\widehat{EAG}=\widehat{EDH}$ (do $\widehat{EAB}=\widehat{EDC}$);

AE = DE (chứng minh trên);

$\widehat{AEG}=\widehat{DEH}$ (hai góc đối đỉnh).

Vậy $\Delta AEG=\Delta DEH$ (g.c.g).

Suy ra EG = EH (hai cạnh tương ứng).