Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x3 - 3x2 - mx + 2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình:
A. m = 0
B.
C. m = 2
D.
Chọn A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Hàm số có 2 cực trị m > -3 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
ta có: x1 + x2 = 2
Bấm máy tính
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Gọi I là trung điểm của AB
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Yêu cầu bài toán
Kết hợp với điều kiện thì m = 0
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 - 2m2x2 + m4 + 1 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thưc m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm nội tiếp được một đường tròn
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 - 2mx2 + m có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M ( 2m3; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 một tam giác có diện tích nhỏ nhất
Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm số:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = -x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng .
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu.
- Định nghĩa.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là ; b là và điểm x0 (a; b).
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x (x0 – h; x0 + h) và thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
- Chú ý:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
Kí hiệu là fCĐ (fCT) còn điểm M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
- Định lí 1
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}; với h > 0.
a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = – 2x3 + 3x2.
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 6x2 + 6x
Và y’ = 0
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số và x = 1 là điểm cực đại của hàm số.
Ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với .
Ta có:
Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của chú ý trên, nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y’(x0) = 0).
III. Quy tắc tìm cực trị .
- Quy tắc 1.
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
- Định lí 2.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 – h; x0 + h) với h > 0. Khi đó:
a) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
- Quy tắc II.
1. Tìm tập xác định
2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.
3. Tính f”(x) và f”(xi).
4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
- Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x
Ta có: f’(x) = 4x3 – 4x
Ta có: f”(x) = 12x2 – 4
Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.
f”(1) = f”(– 1) = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu.
Kết luận:
Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; fCT = f(1) = f(–1) = 9.
Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và fCD = f(0) = 10.