Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P4)
-
3558 lượt thi
-
30 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu
Chọn B
[Phương pháp tự luận]
(*)
TH1 : Nếu m = 1 , (*) trở thành : hay x= 0 ,
Vậy m = 1 hàm số đạt cực đại tại x = 0
TH2 : Nếu m ≠ 1
Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu
Kết hợp 2 trường hợp :
Câu 2:
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất
Chọn C
[Phương pháp tự luận]
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi
Tọa độ điểm cực trị A
Phương trình đường thẳng BC:
Vậy S đạt giá trị lớn nhất
[Phương pháp trắc nghiệm]
Vậy S đạt giá trị lớn nhất
Câu 3:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C(0;-1) thẳng hàng
Chọn A
Phương pháp tự luận]
Hàm số có 2 cực trị
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0;11-3m)
Phương trình đt AB:
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x3 - 3mx +2 cắt đường tròn tâm bán kính bằng 1 tại 2 điểm mà diện tích tam giác lớn nhất
Chọn B
[Phương pháp tự luận]
y' = 3x2 - 3m
Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi m > 0
Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :
Phương trình đt MN :
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng : .
Chọn C
[Phương pháp tự luận]
Ta có :
Do a + b + c = 6 - 6(m + 1) + 6m = 0 nên
Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là m ≠ 1
Hệ số góc đt AB là k=-(m-1)2
Đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2
Câu 6:
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 2 cực trị cùng dấu
Chọn D
Hàm số có 2 điểm cực trị
Chia y cho y’ ta được :
Điểm cực trị tương ứng :
Hai cực trị cùng dấu
Kết hợp đk :
Câu 7:
Cho hàm số . Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B đồng thời A, B cùng với gốc tọa đọ O không thẳng hàng. Khi đó chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?
Chọn B
[Phương pháp tự luận]
Ta có
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Chu vi của là:
Sử dụng tính chất với
Từ đó ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , cùng hướng
Vậy chu vi nhỏ nhất bằng khi
Câu 8:
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thưc m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm
Chọn D
Hàm số có 3 điểm cực trị
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là
A (0 ; m-1)
Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên
Do đó O là trực tâm tam giác ABC
Với
Từ đó ta có:
Vậy m = 1 là gtct
Câu 9:
Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm số:
Chọn C
Câu 10:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình:
Chọn A
Câu 11:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu vuông góc với đường thẳng có phương trình :
Chọn A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Bấm máy tính
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
Câu 12:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = -x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O.
Chọn D
Câu 13:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x3 - 3x2 - mx + 2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình:
Chọn A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Hàm số có 2 cực trị m > -3 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
ta có: x1 + x2 = 2
Bấm máy tính
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Gọi I là trung điểm của AB
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Yêu cầu bài toán
Kết hợp với điều kiện thì m = 0
Câu 14:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Chọn B
Ta có :
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Kết hợp điều kiện (*) ta có
[Phương pháp trắc nghiệm]
Áp dụng công thức
Kết hợp điều kiện (*) ta có
Câu 15:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Chọn B
Ta có :
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Kết hợp điều kiện (*) ta có
[Phương pháp trắc nghiệm]
Áp dụng công thức
Kết hợp điều kiện (*) ta có
Câu 16:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 - 2m2x2 + m4 + 1 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp
Chọn A
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m ≠ 0
Khi đó 3 điểm cực trị là
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC .
Do tính chất đối xứng , ta có
A,O,I thẳng hàng
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC
Kết hợp điều kiện ( thỏa mãn)
Câu 17:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 - 8m2x2 + 1 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64
Chọn D
[Phương pháp trắc nghiệm]
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m ≠ 0
Áp dụng công thức
Câu 18:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 - 2mx2 + m có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1
Chọn B
[Phương pháp tự luận]
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0
Ba điểm cực trị là
Gọi I là trung điểm của
Chu vi của là:
Bán kính đường tròn nội tiếp là:
So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Sử dụng công thức
Theo bài ra:
So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.
Câu 19:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm nội tiếp được một đường tròn
Chọn A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Hàm số có 3 điểm cực trị khi
Áp dụng công thức:
Phương trình đường tròn ngoại tiếp là:
Thay vào ta có phương trình:
Sử dụng chức năng SOLVE ,
tìm ra nghiệm duy nhất thỏa mãn là m = 3
Câu 20:
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 hình thoi
Chọn B
[Phương pháp tự luận]
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0
Ba điểm cực trị là:
Tứ giác OBAC đã có OB=OC ,AB=AC.
Vậy tứ giác OBAC là hình thoi chỉ cần thêm điều kiện
( thỏa mãn)
Câu 21:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
Chọn A
Câu 22:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Chọn D
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
2m ≠ 0(1)
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Ta có:
Ta thấy
Từ (2) và (3) suy ra
Do đó: (thỏa mãn (1)
Câu 23:
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại
Chọn A
Ta có:
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi :
y' có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó, ta có
(vai trò của B, C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử
Do đó OA = BC
Vậy
Câu 24:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng .
Chọn D
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là
Trung điểm của đoạn AB là
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng
Kết hợp với điều kiện ta có
Câu 25:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O
Chọn C
Ta có
Hàm số (1) có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nhiệm phân biệt
Khi đó, điểm cực đại và điểm cực tiểu
Ta có
Câu 26:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
Chọn A
Ta có:
Hàm số (C) có ba điểm cực trị (*) .
Với điều kiện (*) gọi ba điểm cực trị là:
Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì sẽ vuông cân tại đỉnh A.
Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC
Tam giác ABC vuông khi:
Vậy với thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Yêu cầu bài toán
Câu 27:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho ( Trong đó O là gốc tọa độ).
Chọn D
Ta có:
Với mọi m ≠ 0, ta có
Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Giả sử
Ta có
Vậy giá trị m cần tìm là:
Câu 28:
Cho hàm số .Tìm tất cả các giá trị thực tham số m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị (C) tạo với đường thẳng một góc biết
Chọn A
Đường thẳng đi qua ĐCĐ, ĐCT là
Đường thẳng đã cho có
Yêu cầu bài toán
Câu 29:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
Chọn C
Ta có
nên hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 1.
Với đk m > 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
Ta có:
Để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều thì:
So sánh với điều kiện ta có: thỏa mãn.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Yêu cầu bài toán
Câu 30:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M ( 2m3; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 một tam giác có diện tích nhỏ nhất
Chọn B
Ta có:
⇒∀m∈ℝ, hàm số luôn có CĐ, CT
Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là
Suy ra
và phương trình đường thẳng
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
Ta có:
⇒ đạt được khi m = 0