Giải bởi Vietjack
A = 12 + 22 + 32 + … + n2
A = (1 . 2 – 1) + (2 . 3 – 2) + (3 . 4 – 3) + … + [n(n + 1) – n]
A = [1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1)] – (1 + 2 + 3 + … + n)
Đặt B = 1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1) và C = 1 + 2 + 3 + … + n.
+ Ta tính tổng B:
B = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + n(n + 1)
Nhân 2 vế của B với 3 ta có:
3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + ... + n(n + 1) . 3
3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . (4 – 1) + 3 . 4 . (5 – 2) + ... + n(n + 1)[(n + 2) – (n – 1)]
3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 – 1 . 2 . 3 + 3 . 4 . 5 – 2 . 3 . 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) – (n –1)n(n + 1)
3B = n (n + 1)(n + 2)
B =
+ Ta tính tổng C:
C = 1 + 2 + 3 + … + n
Nhân 2 vế của C với 2 ta có:
2C = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 +…+ n . 2
2C = 1 . 2 + 2(3 – 1) + 3(4 – 2) +…+ {n.[(n + 1) – (n – 1)]}
2C = 1 . 2 – 1 . 2 + 2 . 3 – 2 . 3 + 3 . 4 – … – n(n – 1) + n (n + 1)
2C = [1 . 2 – 1 . 2] + [2 . 3 – 2 . 3] + [3 . 4 – 3 . 4] + … – n(n – 1) + n(n + 1)
2C = 0 + 0 + 0 + …. + n.(n + 1)
2C = n.(n + 1)
C =
Do đó, A = B – C =
.
Vậy A .
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình vuông ABCD. Qua C kẻ đường thẳng d cắt tia AD, tia AB lần lượt tại E, F ( AE < AF). Gọi M là giao điểm của DF và BC; N là giao điểm của BE và DC.
a, Chứng minh: .
Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1; 2; 3…; 9} mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {1; 2; 3;…; 9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM, CN. Trên tia đối của tia MB lấy điểm I sao cho MB = MI. Trên tia đối của tia NC lấy điểm K sao cho NC = NK. Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMI bằng tam giác CMB.
Tuổi Tùng bằng tuổi của bố và bằng tuổi của mẹ. Bố hơn mẹ 8 tuổi, hỏi Tùng bao nhiêu tuổi?
Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 2014. Số trừ hơn hiệu là 125. Tìm số bị trừ và số trừ.
Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái chân vừa gà vừa chó. Biết số chân chó nhiều hơn chân gà là 12 chiếc. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8m. Nếu ta tăng cả chiều dài và chiều rộng 4m thì diện tích tăng thêm 248m2. Tính diện tích thửa ruộng?
Anh Thành đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 2 giờ, xe bị hỏng nên anh Thành phải sửa xe mất 12 phút. Để đến B đúng thời gian dự định, anh Thành phải đi quãng đường còn lại với vận tốc 50 km/h. Tính độ dài quãng đường AB.
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 – 3y2 + 2xy – 2x + 6y – 8 = 0.
Một trường tiểu học có 780 học sinh. Số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là 20 học sinh. Tính số học sinh nam, nữ của trường?
So sánh tích 2020 ∙ 2020 và tích 2019 ∙ 2021 mà không tính cụ thể giá trị của chúng.
Cho hình thang ABCD (có AB // CD), E là trung điểm của AD và F là trung điểm BC. Đường thẳng EF cắt BD tại I, cắt AC tại K.
a, Chứng minh AK = KC, BI = ID.
