Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3d3; b5 + c5 + d5 = 3a5 và c7 + d7 + a7 = 3b7. Chứng minh rằng a = b = c = d.
Giải bởi Vietjack
Xét 4 trường hợp.
Trường hợp 1: a là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ b5 + c5 + d5 = 3a5 ⇒ a = b = c = d
Trường hợp 2: b là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ c7 + d7 + a7 = 3b7 ⇒ a = b = c = d
Trường hợp 3: c là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ a3 + b3 + c3 = 3d3 ≥ 3abc ⇒ d3 ≥ abc (1).
Từ b5 + c5 + d5 = 3a5 ≥ (2).
Từ c7 + d7 + a7 = 3b7 (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra abd ≥ c3, mà c lớn nhất nên a = b = c = d.
Trường hợp 4: d là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ a3 + b3 + c3 = 3d3 ⇒ a = b = c = d
Vậy ta có a = b = c = d.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 45m, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Người ta dành 35% diện tích đất để làm nhà. Tính diện tích phần còn lại của mảnh đất đó.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?
Một xưởng may đã dùng đến 545 m vải để may quần áo. Trong đó số vải may quần chiếm 40% số vải đó. Hỏi số vải may áo là bao nhiêu mét?
Cho các số từ 1 đến 9. Em hãy điền các số này vào các sô vuông, sao cho tổng của 3 ô hàng dọc, hàng ngang và đường chéo bằng nhau.
Một lớp có 3 loại học sinh: Giỏi, Khá, Trung Bình. Biết số học sinh giỏi bằng số học sinh khá, số học sinh khá bằng 50% tổng số học sinh cả lớp. Còn lại là học sinh trung bình. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu học sinh, biết lớp đó có 42 học sinh?
Để lát nền một phòng học hình chữ nhật, người ta dùng loại gạch men hình vuông có cạnh 20cm. Hỏi cần bao nhiêu viên gạch để lát kín nền phòng học đó, biết rằng nền phòng học có chiều rộng 5m, chiều dài 8m và phần mạch vừa không đáng kể?
Trung bình cộng của chiều dài và chiều rộng một mảnh đất là 28m, biết chiều dài của mảnh đất là 26m. Tính chu vi và diện tích của mảnh đất đó
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là 360 m, chiều rộng bằng chiều dài. Hỏi thửa ruộng có diện tích bằng bao nhiêu mét vuông ?
Người ta lát sàn một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 6m, chiều rộng 4m bằng những mảnh gỗ hình chữ nhật có chiều dài 1m 20cm, chiều rộng 20 cm. Hỏi cần bao nhiêu mảnh gỗ để lát kín sàn căn phòng đó?
