Do a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên 2a chia cho 3, 5, 7 dư 1.

Suy ra 2a – 1 chia hết cho 3, 5, 7 hay 2a – 1 là bội chung của 3, 5, 7.

Như vậy để a là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài thì 2a – 1 phải là BCNN(3, 5, 7).

Ta có: BCNN(3, 5, 7) = 3.5.7 = 105 nên 2a – 1 = 105 suy ra a = 53.

Vậy số cần tìm là 53.

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ và hiệu các chữ số của nó là c.

Theo để bài ta có:

$\overline{ab}$ = 28 × c + 1

Vì $\overline{ab}$ < 100 nên 28c + 1 < 100, do đó c < 4 (vì 28 × 4 + 1 = 113).

Mà c > 0 để $\overline{ab}$ > 10.

Suy ra c = 1; 2 hoặc 3.

– Nếu c = 1 thì $\overline{ab}$ = 29 (loại vì 9 – 2 = 7 ≠ 1)

– Nếu c = 2 thì $\overline{ab}$ = 57 (thỏa mãn)

– Nếu c = 3 thì $\overline{ab}$ = 85 (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là 57 và 85.

x⁴ = 2x² + 8x + 3

⇔ x⁴ + 2x² + 1 – 4x² – 8x – 4 = 0

⇔ (x² + 1)² – 4(x + 1)² = 0

⇔ (x² + 2x + 3)(x² – 2x – 1) = 0

Vì x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 > 0 với mọi x nên ta có:

x² – 2x – 1 = 0

⇔ (x – 1)² = 2

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}\\ x=1-\sqrt{2}\end{array}\right.$

Vậy x = $1+\sqrt{2}$ hoặc x = $1-\sqrt{2}$.

0,78 = $\frac{78}{100}$= 78%.

1 tạ = 100 kg

1,7 tạ = 170 kg.

Gọi số bi của Sơn, Minh, Hùng lần lượt là a, b, c.

Ta có:

a + b + c = 84 (1)

$\frac{a+b}{2}=\frac{b+c}{2}+4$⇔ a = c + 8 (2)

$\frac{a+b}{2}+4=\frac{a+c}{2}$⇔ b + 8 = c ⇔ b = c – 8 (3)

Thế (2), (3) vào (1) ta có:

c + 8 + c – 8 + c = 84

3c = 84

c = 84 : 3

c = 28.

Vậy Hùng có 28 viên bi.

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + … + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

A = 6 + 2² (2 + 2²) + … + 2⁹⁸ (2 + 2²)

A = 6 (1 + 2² + … + 2⁹⁸)

Vì 6 chia hết cho 6 nên 6 (1 + 2² + … + 2⁹⁸) chia hết cho 6.

Vậy A chia hết cho 6.

Phân xưởng A làm được số sản phẩm là:

(299 – 83) : 2 = 108 (sản phẩm)

Phân xưởng B làm được số sản phẩm là:

108 + 83 = 191 (sản phẩm).

Đáp số: phân xưởng A: 108 sản phẩm; phân xưởng B: 191 sản phẩm.

Gọi số tuổi của Hùng hiện nay là a (a > 12)

Thì số tuổi của Minh hiện nay là a – 12

Nếu tuổi Minh bằng tuổi Hùng hiện nay tức là tuổi Minh bằng a

Khi đó tuổi Hùng là a + 12

Ta có:

a = $\frac{3}{5}$(a + 12)

$\frac{2}{5}$a = $\frac{36}{5}$

a = $\frac{36}{5}$: $\frac{2}{5}$

a = 18.

Vậy hiện nay Hùng 18 tuổi, Minh 6 tuổi.

Số vở lớp 4C quyên góp được là:

28 + 7 = 35 (quyển)

Tổng số vở 3 lớp quyên góp được là:

33 + 28 + 35 = 96 (quyển)

Trung bình mỗi lớp quyên góp được số vở là:

96 : 3 = 32 (quyển)

Đáp số: 32 quyển.

Chiều rộng thửa ruộng là:

360 × $\frac{2}{3}$ = 240 (m).

Diện tích thửa ruộng là:

360 × 240 = 86400 (m²).

Đáp số: 86 400 m².

Đổi 0,16 hm = 160 m.

Chiều rộng thửa ruộng là:

160 : (3 + 5) × 3 = 60 (m).

Chiều dài thửa ruộng là:

160 – 60 = 100 (m).

Diện tích thửa ruộng là:

60 × 100 = 6000 (m²).

Người ta thu được số kg lúa là:

6000 : 500 × 250 = 3000 (kg)

Đổi 3000 kg = 3 tấn.

Đáp số: 3 tấn lúa.

Diện tích mảnh đất là:

18 × 12 = 216 (m²)

Diện tích đất trồng hoa là:

216 × 20 : 100 = 43,2 (m²)

Diện tích đất trồng rau là:

216 – 43,2 = 172,8 (m²)

Đáp số: 172,8 m².

Chiều rộng tấm biển là:

24 : 4 = 6 (cm).

Diện tích tấm biển là:

24 × 6 = 144 (cm²).

Đáp số: 144 cm².

Số cây cam là:

2280 × 37,5% = 855 (cây).

Số cây nhãn là:

2280 × 25% = 570 (cây).

Số cây xoài là:

2280 – 855 – 570 = 855 (cây).

Đáp số: Cam: 855 cây

             Nhãn: 570 cây

             Xoài 855 cây.

Số phần trăm vải chỉ may áo là: 

100 – 40 = 60 (%)

Số vải may áo là:

545 × 60 : 100 = 327(m)

Đáp số: 327 m.

Ta có: $\frac{m+n}{n}$= 7 .$\frac{m}{n}$

$\frac{m}{n}$+ 1 = 7 . $\frac{m}{n}$

6 . $\frac{m}{n}$ = 1

$\frac{m}{n}$= $\frac{1}{6}$.

Vậy phân số cần tìm là $\frac{1}{6}$.

Đường chéo AC có độ dài là:

100 : (2 + 3) × 2 = 40 (cm)

Đường chéo BD có độ dài là:

100 – 40 = 60 (cm)

Diện tích hình thoi đó là:

(40 × 60) : 2 = 1200 (cm²)

Đáp số: 1200 cm².

Độ dài đường chéo thứ nhất là:

(100 – 16) : 2 = 42

Độ dài đường chéo thứ hai là:

42 + 16 = 58 (cm).

Diện tích hình thoi là:

(42 × 58) : 2 = 1218 (cm²).

Đáp số: 1218 cm².

Ta có tam giác OAM cân tại O (do OM = OA = R) nên $\widehat{O_1}=180°-2\widehat{A_1}$

Tam giác O'AN cân tại O' (do O'A = O'N = R') nên $\widehat{O{\text{'}}_1}=2\widehat{A_2}=2\left(90°-\widehat{A_1}\right)=180°-2\widehat{A_1}$

Suy ra: $\widehat{O_1}=\widehat{O{\text{'}}_1}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên OM // O'N.

Số tiền mà xe đạp đã bị hạ xuống là:

400 000 : 100 × 15 = 60000 (đồng)

Xe đạp bây giờ có số tiền là:

400 000 – 60 000 = 340 000 (đồng)

Đáp số: 340 000 đồng.

Với p = 2 ⇒ p + 4 = 6 (loại vì không là số nguyên tố)

Với p = 3 ⇒ p + 6 = 9 (loại vì không là số nguyên tố)

Với p > 3, vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3.

Do đó, p có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Với p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 ⋮ 3 (loại)

Với p = 3k + 2 ⇒ p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 ⋮ 3 (loại)

Vậy không có số nguyên tố nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số thập phân ban đầu có dạng $\overline{A,3}$ 

Ta có:

$\overline{A,3}$ + $\overline{A2,3}$ = 13,6

A + 0,3 + (10A + 2) + 0,3 = 13,6

11A = 11

A = 1.

Vậy số thập phân cần tìm là 1,3.

Dùng compa với độ mở sao cho 2 mũi nhọn compa trùng với 2 đầu của 1 đoạn thẳng.

Với cùng độ mở đó ta có thể so sánh với độ dài đoạn thẳng thứ 2.

Muốn làm xong công việc trong 1 ngày thì cần:

21 .7 = 147 (người)

Ta có: 147 : 5 = 29,4

Vậy nếu muốn làm xong công việc trong 5 ngày thì cần 30 người.

63⁷ < 64⁷ = (2⁶)⁷ = 2⁴²

16¹² = (2⁴)¹² = 2⁴⁸

Vì 2⁴⁸ > 2⁴² nên 16¹² > 63⁷.

Gọi x là số tổ. Vì số nam được chia đều, số nữ cũng vậy nên mỗi tổ có cả nam và nữ đều bằng nhau. Do đó x là ƯC(48, 72).

Ta có:

48 = 2⁴.3;

72 = 2³.3²

ƯCLN(48, 72) = 2³.3 = 24.

⇒ x = ƯC(48, 72) = Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Số tổ có thể chia được nhiều nhất chính là ƯCLN (48, 72) = 24

Vậy x = 24 tổ.

Khi đó, mỗi tổ có 48 : 24 = 2 (nam) và 72 : 24 = 3 (nữ).

Chia 1 số tự nhiên (trong 8 số đó) cho 7 ta thu được 1 số dư

⇒ Khi chia cả 8 số đó cho 7 ta sẽ thu được 8 số dư

Mà một phép chia cho 7 có thể dư 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

⇒ Có ít nhất 2 trong 8 số chia cho 7 thì cùng số dư

⇒ Hiệu 2 số đó chia hết cho 7

Gọi 2 số đó là $\overline{abc}$ và $\overline{def}$  (0 ≤ a, b , c, d, e, f ≤ 9; a, d khác 0)

Không mất tính tổng quát, giả sử $\overline{abc}$> $\overline{def}$

Ta có:

$\overline{abcdef}$= 1000$\overline{abc}$ + $\overline{def}$

⇔ $\overline{abcdef}$= 1001$\overline{abc}$ – $\overline{abc}$ + $\overline{def}$

⇔ $\overline{abcdef}$= 7 . 143 . $\overline{abc}$ – $\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)$

Vì 7 . 143 . $\overline{abc}$ chia hết cho 7 và $\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)$ chia hết cho 7 nên $\overline{abcdef}$chia hết cho 7.

Vậy luôn tại 2 trong 8 số đó viết liền nhau tạo thành 1 số chia hết cho 7.

60 = 2² . 3 . 5

96 = 2⁵ . 3

Độ dài cạnh các hình vuông là ước của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật

Suy ra độ dài lớn nhất của các hình vuông là ƯCLN (chiều dài, chiều rộng)

Suy ra: cạnh = ƯCLN (60, 96) = 2² . 3 = 12

Vậy độ dài lớn nhất là 12 cm.

Ta có: x ∈ BC (120, 300)

120 = 2³ . 3 . 5

300 = 2² . 3 . 5²

BCNN (120, 300) = 2³ . 3 . 5² = 600

BC (120, 300) = B(60) = {0; 600; 1200; …}

Vì 0 < x < 1200 nên x = 600.

Vậy x = 600.

125 = 5³

100 = 2² . 5²

BCNN (125; 100) = 2² . 5³ = 500.

Trung bình cộng của 2 số là:

1516 – 173 = 1343

Tổng của 2 số là:

1343 × 2 = 2686

Số bé là:

2686 – 1516 = 1170

Đáp số: 1170.

5661 = 3² . 17 . 37

5291 = 11 .13 . 37

4292 = 2² . 29 . 37

ƯCLN (5661; 5291; 4292) = 37.

$A=\frac{3n+9}{n-4}=\frac{3\left(n-4\right)+21}{n-4}=3+\frac{21}{n-4}$

Vì A là số nguyên nên 21 ⋮ (n – 4)

Suy ra: n – 4 ∈ Ư(21)

⇒ n – 4 ∈ {–1; 1; –3; 3; –7; 7; –21; 21}

⇒ n ∈ {3; 5; 1; 7; –3; 11; –17; 25}.

n³ (n² – 7)² – 36n

= n [n² (n² – 7)² – 6²]

= n [n (n² – 7) – 6][ n (n² – 7) + 6]

= n (n³ – 7n – 6)(n³ – 7n + 6)

= n (n³ – 3n² + 3n² – 9n + 2n – 6)( n³ + 3n² – 3n² – 9n + 2n + 6)

= n [(n2 (n – 3) + 3n (n – 3) + 2(n – 3)][(n² (n + 3) – 3n (n – 3) + 2(n + 3)]

= n(n – 3)(n + 3)(n² + 3n + 2)(n² – 3n + 2)

= n(n – 3)(n + 3)(n + 1)(n + 2)(n – 1)(n – 2).

Ta thấy đây là 7 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 7.

Suy ra: tích của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7 hay n³ (n² – 7)² – 36n chia hết cho 7.

Vậy n³ (n² – 7)² – 36n chia hết cho 7.

Số các số hạng từ 1 đến 49 là:

(49 – 1) : 1 + 1 = 49 (số)

Tổng các số từ 1 đến 49 là:

(49 + 1) . 49 : 2 = 1225

Tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 49 trừ đi 25 ta được:

1225 – 25 = 1200.

Đáp số: 1200.

Số ki–lô–mét ô tô chạy trong giờ thứ hai là:

40 + 20 = 60 (km).

Số ki–lô–mét ô tô chạy trong giờ thứ ba là:

(60 + 40) : 2 = 50 (km).

Đáp số: 50km.

20 lít so với 5 lít thì gấp một số lần là:

20 : 5 = 4 (lần)

Vì vậy số thùng 20 lít chỉ bằng $\frac{1}{4}$ số thùng 5 lít mà số thùng 5 lít nhiều hơn số thùng 20 lít là 30 cái, nên ta có sơ đồ:

Số thùng 20 lít là:

30 : (4 – 1) = 10 (thùng)

Số lít dầu của cửa hàng là:

10 × 20 = 200 (lít).

Đáp số: 200 lít.

Vì 480 ⋮ a và 600 ⋮ a nên a ∈ ƯC(480; 600)

Vì a là số tự nhiên lớn nhất nên a là ƯCLN của 480 và 600

Ta có: 480 = 2⁵ . 3 . 5

600 = 2³ . 3 . 5²

ƯCLN(480; 600) = 2³ . 3 . 5 = 120

Vậy a = 120.

Ta có: 144 = 2⁴ . 3²

192 = 2⁶ . 3

⇒ ƯCLN(144, 192) = 2⁴ . 3 = 48.

ƯC(144 ; 192) = Ư(48) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48}.

Trong các ước chung trên, ước chung lớn hơn 20 là: 24 ; 48.

420 ⋮ a và 700 ⋮ a nên a ∈ ƯC(420; 700).

a là số tự nhiên lớn nhất nên a = ƯCLN(420; 700).

Ta có:

420 = 2² . 3 . 5 . 7

700 = 2² . 5² . 7

⇒ ƯCLN(420, 700) = 2² . 5 . 7 = 140

Vậy a = 140.

Ta có: x + 21 = x + 3 + 18

Vì x + 3 chia hết cho x + 3 nên để x + 21 chia hết cho x + 3 thì 18 chia hết cho x + 3

Hay x + 3 ∈ Ư(18)

Suy ra: x + 3 ∈ {±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18}

x ∈ {–2; –1 ; 0 ; 3 ; 6 ; 15 ; –4 ; –5 ; –6 ; –9 ; –12 ; –21}

Vậy x ∈ {–2; –1 ; 0 ; 3 ; 6 ; 15 ; –4 ; –5 ; –6 ; –9 ; –12 ; –21}.

Số các số hạng là:

(8789 – 8771) : 2 + 1 = 10 (số).

Tổng các số đó là:

(8789 + 8771) × 10 : 2 = 87800.

11 tuần = 7 ngày

1 người trong 1 ngày trồng được số cây là :

368 : 4 = 92 (cây)

Khi bổ sung thêm 3 người nữa thì tổng số người ở tổ đó là :

4 + 3 = 7 (người)

Trong 1 tuần cả tổ đó trồng được số cây là :

92 × 7 = 644 (cây)

Đáp số : 644 cây.

(34 + 36) : 2

= 70 : 2

= 35.

–25x⁶ – y⁸ + 10x³y⁴

= – [(5x³)² + (y⁴)² – 10x³y⁴)

= – (5x³ – y⁴)².

2x² – 12x + 18 + 2xy – 6y

= 2(x² – 6x + 9) + 2y(x – 3)

= 2(x – 3)²  + 2y(x – 3)

= 2(x – 3)(x – 3 + y).

5x² + 8xy + 5y² = 72

9A = 9(x² + y²) = 5x² + 8xy + 5y² + (4x² – 8xy + 4y²)

9A = 72 + 4(x – y)²

Vì 4(x – y)² ≥ 0 với mọi x, y nên 9A ≥ 72 hay A ≥ 8.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi x = y.

Khi đó ta có: 5x² + 8x² + 5x² = 72

⇔ x² = 4

⇔ x = ±2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi x = y = ±2.

5x² + 8xy + 5y² = 72

9A = 9(x² + y²) = 5x² + 8xy + 5y² + (4x² – 8xy + 4y²)

9A = 72 + 4(x – y)²

Vì 4(x – y)² ≥ 0 với mọi x, y nên 9A ≥ 72 hay A ≥ 8.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi x = y.

Khi đó ta có: 5x² + 8x² + 5x² = 72

⇔ x² = 4

⇔ x = ±2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi x = y = ±2.

a) 15 + 3 . 40 + 8 . 9 có các số hạng chia hết cho 3 và lớn hơn 3, nên nó chia hết cho 3 .

Vậy tổng đó là hợp số

b) 5.7.9 – 2.5.6 có các số hạng đều chia hết cho 5 và lớn hơn 5 , nên nó chia hết cho 5.

Vậy hiệu đó là hợp số..

c) 90.17 – 34.40 + 12.51 có các số hạng đều chia hết cho 17 và lớn hơn 17, nên nó chia hết cho 17

Vậy tổng đó là hợp số.

d) 2010 + 4149 có các số hạng chia hết cho 3 và lớn hơn 3, nên nó chia hết cho 3.

Vậy tổng đó là hợp số.

Lấy I là giao của Ax và BF.

 a) AI là tia phân giác của góc BAF và AI cũng là đường cao của tam giác BAF nên

 ∆BAF cân tại A nên AB = AF.

Mà $\widehat{BAF}$= 90°.

Khi đó ABEF là hình vuông.

Vậy ABEF có bốn cạnh bằng nhau.

b) Ta có: BE = AF = BA.

Mà AC = 2BA nên AC = 2AF và FC = AF = BE.

Lại có BE // AF và BE // FC.

Vậy BECF là hình bình hành.

c) Vì tứ giác ABEF là hình vuông nên I là trung điểm AE.

Xét ∆ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

⇒ AM = MB = MC (tính chất trung tuyến tam giác vuông)

⇒ ∆AMC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Mà $\widehat{MCA}=\widehat{ABH}$(cùng phụ $\widehat{ABC}$)

⇒$\widehat{MAC}$= $\widehat{BAH}$

Xét ∆ABP và ∆AFQ có:

AB = AF

$\widehat{BAP}=\widehat{FAQ}$

$\widehat{ABP}=\widehat{AFQ}$ (do ∆ABF cân tại A)

Do đó ∆ABP = ∆AFQ (g.c.g)

Suy ra AP = AQ (hai cạnh tương ứng).

Suy ra ∆APQ cân tại A, có AI là đường cao nên AI đồng thời là trung tuyến.

Do đó I là trung điểm PQ.

Xét tứ giác APEQ có: I là trung điểm AE và PQ.

Suy ra tứ giác APEQ là hình bình hành.

Lại có AE vuông góc PQ.

Vậy tứ giác APEQ là hình thoi.

n³ –13n

= n (n² – 13)

= n (n² – 1 – 12)

= n [(n – 1)(n + 1) – 12]

= n(n – 1)(n + 1) – 12n

Ta thấy n (n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có 1 thừa số chia hết cho 2 hay 3.

⇔ n (n – 1)(n + 1) chia hết cho 6

Mà 12n chia hết cho 6

⇒ n (n – 1)( n + 1) – 12n chia hết cho 6

Vậy n³ –13n chia hết cho 6.

– Chọn vị trí cho số 0. Vì số 0 phải xuất hiện trong số đó nên ta chọn vị trí cho số 0 trước. Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên ta có 5 vị trí để chọn cho số 0.

– Chọn các vị trí còn lại cho các số còn lại. Ta có 8 số còn lại để chọn (không có số 1), và ta phải chọn 5 số từ 8 số đó. Do đó, ta có $A_8^5$ cách chọn.

Vậy, số lượng số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 là: 5 .$A_8^5$= 33600 (số)

Vậy có 33600 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Diện tích nền phòng học hình chữ nhật (không tính phần mạch vữa) là:

8 × 5 = 40 (m²)

Đổi 40 m² = 400000 cm²

Diện tích của một viên gạch men hình vuông là:

20 × 20 = 400 (cm²)

Số viên gạch cần dùng là:

400000 : 400 = 1000 (viên)

Đáp số: 1000 viên gạch men.

a) Nửa chu vi hình chữ nhật là:

192 : 2 = 96 (m)

Chiều dài hình chữ nhật là:

96 : (3 + 5) . 5 = 60 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

96 – 60 = 36 (m)

Diện tích của mảnh vườn là:

36 × 60 = 2160 (m²)

b) Diện tích để làm lối đi và đào ao thả cá là:

18 × 10 = 180 (m²)

Diện tích còn lại là:

2160 – 180 = 1980 (m²).

Đáp số: a) 2160 m²; b) 1980 m².

Chiều dài hơn chiều rộng là:

3 + 3 = 6 (m)

Chiều dài mảnh đất là:

6 : (4 – 3) × 4 = 24 (m).

Chiều rộng mảnh đất là:

24 – 6 = 18 (m).

Diện tích mảnh đất là:

24 × 18 = 378 (m²).

Đáp số: 378 m².

Đổi: 1m 20cm = 120cm.

Diện tích căn phòng đó là :

6 × 4 = 24 (m²) = 240000 (cm²)

Diện tích một mảnh gỗ hình chữ nhật là:

120 × 20 = 2400 (cm²)

Cần số mảnh gỗ để lát kín sàn căn phòng đó là:

240000 : 2400 = 100 (mảnh gỗ)

Đáp số: 100 mảnh gỗ.

Nửa chu vi mảnh đất là:

130 : 2 = 65 (m)

Chiều dài mảnh đất là:

65 : (3 + 2) × 3 = 39 (m)

Chiều rộng mảnh đất là:

65 – 39 = 26 (m)

Diện tích mảnh đất là:

39 . 26 = 1014 (m²)

Mảnh đất đó trồng được số kg ngô là:

1014 : 78 . 35 = 455 (kg).

Đáp số: 455 kg ngô.

Tổng chiều dài và chiều rộng mảnh đất là:

28 × 2 = 56 (m)

Chiều rộng mảnh đất là:

56 – 26 = 30 (m)

Diện tích mảnh đất là:

30 × 26 = 780 (m²)

Chu vi mảnh đất là:

(30 + 26) × 2 = 112 (m).

F = n³ + 4n² – 20n – 48

= n³ – 4n² + 8n² – 32n + 12n – 48

= (n – 4)n² + 8n (n – 4) + 12(n – 4)

= (n – 4)(n² + 8n + 12)

= (n – 4)(n + 2)(n + 6)

Vì (n – 4)(n + 2)(n + 6) chia hết cho 125, mà 125 chia hết cho 5 nên trong F tồn tại một thừa số chia hết cho 5

+ Nếu n + 2 chia hết cho 5 thì:

• n – 4 = n + 2 – 6, vì n + 2 chia hết cho 5, 6 không chia hết cho 5 nên n – 4 không chia hết cho 5

• n + 6 = n + 2 + 4, vì n + 2 chia hết cho 5, 4 không chia hết cho 5 nên n + 6 không chia hết cho 5

Do đó: Để F chia hết cho 125 thì n + 2 phải chia hết cho 125

⇒ n + 2 có giá trị bé nhất bằng 125 ⇒ n có giá trị bé nhất là 123

Tương tự ta xét tiếp hai trường hợp còn lại:

+ Nếu n – 4 chia hết cho 5 thì:

• n + 2 = n – 4 + 6 không chia hết cho 5

• n + 6 = n – 4 + 10 chia hết cho 5

Do đó: Để F chia hết cho 125 thì:

Hoặc n – 4 chia hết cho 25 và n + 6 chia hết cho 5

Hoặc n – 4 chia hết cho 5 và n + 6 chia hết cho 25

⇒ n bé nhất bằng 4

+ Nếu n + 6 chia hết cho 5 thì:

• n + 2 = n + 6 – 4 không chia hết cho 5

• n – 4 = n + 6 – 10 chia hết cho 5

Do đó: Để F chia hết cho 125 thì:

Hoặc n – 4 chia hết cho 25 và n + 6 chia hết cho 5

Hoặc n – 4 chia hết cho 5 và n + 6 chia hết cho 25

⇒ n bé nhất bằng 4.

Ta thấy qua ba trường hợp, 4 < 123 nên giá trị bé nhất của n để F chia hết cho 125 là n = 4

Vậy n = 4.

720 ⋮ x; 540 ⋮ x

⇒ x ∈ ƯC(720; 540)

Ta có:

720 = 2⁴ . 3² . 5

540 = 2² . 3³ . 5

⇒ ƯCLN(720; 540) = 2² . 3² . 5 = 180

Ta có: ƯC(720; 540) = Ư(180)

⇒x ∈ Ư(180)

Vì 70 < x <180 nên x = 90

Vậy x = 90.

Số học sinh khá là:

42 × 50% = 21 (học sinh)

Số học sinh giỏi là:

21 × $\frac{1}{3}$ = 7 (học sinh)

Số học sinh trung bình là:

42 – 21 – 7 = 14 (học sinh).

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi tăng thêm 15 người là x (0 < x < 12) (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu tăng thêm 15 công nhân thì số công nhân sau khi tăng là:

45 + 15 = 60 (công nhân)

Theo bài ra ta có:

45 . 12 = 60 . x 

⇒ 60x = 540

⇒ x = 9 (giờ)

Do đó thời gian hoàn thành công việc giảm đi 12 – 9 = 3 giờ

2x² + 3y² – xy – 3x – 5y – 4 = 0

⇔ 2x² – (y + 3)x + 3y² – 5y – 4 = 0 (*)

Đây là phương trình bậc hai ẩn x.

Ta có: ∆ = (y + 3)² – 4 . 2(3y² – 5y – 4) = – 23y² + 46y + 41.

(*) có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ – 23y² + 46y + 41 ≥ 0 $\iff \frac{23-8\sqrt{23}}{23}\le y\le \frac{23+8\sqrt{23}}{23}$.

Khi đó (*) có nghiệm là $x=\frac{y+3\pm \sqrt{–23y^2+46y+41}}{4}$.

Đặt y = t $\left(t\in \left(\frac{23-8\sqrt{23}}{23};\frac{23+8\sqrt{23}}{23}\right)\right)$.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $\left(x;y\right)=\left(\frac{t+3\pm \sqrt{–23t^2+46t+41}}{4};t\right)$ với $t\in \left(\frac{23-8\sqrt{23}}{23};\frac{23+8\sqrt{23}}{23}\right)$.

x³ + 3x² + 2x = x (x² + 3x + 2) = x(x + 1)(x + 2)

Vì x và x + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên x(x + 1)

Trường hợp 1: x = 3k (k ∈ ℤ)

⇒ x ⋮ 3

⇒ x(x + 1)(x + 2) ⋮ 3

Trường hợp 2: x = 3k + 1(k ∈ ℤ)

⇒ x + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⋮ 3

Trường hợp 3: x = 3k + 2(k ∈ ℤ)

⇒ x + 1= (3k + 2) + 1 = 3k + 3= 3.(k + 1) ⋮ 3

Suy ra A ⋮ 3

Vậy A ⋮ 6.

Nếu muốn làm xong công việc đó trong 1 ngày thì cần :

45 × 14 = 630 (người)

Cần số ngày để hoàn thành công việc là: 

630 : 70 = 9 (ngày)

Đáp số: 9 ngày.

Số đó là:

155 : $\frac{5}{3}$ = 103.

Vậy số đó là 103.

(4x – 1)² = 4

⇔ $\left[\begin{array}{l}4x-1=2\\ 4x-1=-2\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}\\ x=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Vậy x = $\frac{3}{4}$ hoặc x = $-\frac{1}{4}$.

5x³ + 6x² + 12x + 8 = 0

⇔ x³ + 6x² + 12x + 8 = –4x³

⇔ (x + 2)³ = –4x³

⇔ (x + 2)³ = –x³ . ${\left(\sqrt[3]{4}\right)}^3$

⇔ x + 2 = –x . $\sqrt[3]{4}$

⇔ x $\left(1+\sqrt[3]{4}\right)$ = –2

⇔ x = $\frac{-2}{1+\sqrt[3]{4}}$

Xét 4 trường hợp.

Trường hợp 1: a là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ b⁵ + c⁵ + d⁵ = 3a⁵ ⇒ a = b = c = d

Trường hợp 2: b là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ c⁷ + d⁷ + a⁷ = 3b⁷ ⇒ a = b = c = d

Trường hợp 3: c là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ a³ + b³ + c³ = 3d³ ≥ 3abc ⇒ d³ ≥ abc (1).

Từ b⁵ + c⁵ + d⁵ = 3a⁵ ≥ $3\sqrt[3]{b^5{c}^5{d}^5}\Rightarrow a\ge \sqrt[3]{bcd}\Rightarrow a^3\ge bcd$ (2).

Từ c⁷ + d⁷ + a⁷ = 3b⁷ $\Rightarrow 3b^7\ge 3\sqrt[3]{c^7{d}^7{a}^7}\Rightarrow b\ge \sqrt[3]{cda}\Rightarrow b^3\ge cda$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra abd ≥ c³, mà c lớn nhất nên a = b = c = d.

Trường hợp 4: d là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ a³ + b³ + c³ = 3d³ ⇒ a = b = c = d

Vậy ta có a = b = c = d.

Bước 1: Xác định tổng

- Tổng các số từ 1 đến 9 là: 1 + 2 +....+ 9 = 45

- Vì 3 ô cộng lại đều bằng nhau nên: Tổng 3 ô là 45 : 3 = 15

Bước 2: Lấy 15 : 3 = 5 suy ra ô trung tâm phải là 5

Bước 3: Chỉ cần nghĩ ra 2 số cộng lại bằng 10 (vì đều cộng với số 5): 10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6

Bước 4: Điền vào các ô theo cặp số.

Lần sau người ta lấy ra số gạo là:

32850 : 3 = 10950 (kg)

Lúc đầu trong kho có số kg gạo là:

32850 + 10950 + 26300 = 70100 (kg)

Đổi 70100 kg = 701 tạ.

Số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 7 là 9996

Số bé nhất có 4 chữ số chia hết cho 7 là 1001

Số có 4 chữ số chia hết cho 7 là:

(9996 – 1001) : 7 + 1 = 1286 (số)

Số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 17 là 9996

Số bé nhất có 4 chữ số chia hết cho 17 là 1003

Số có 4 chữ số chia hết cho 17 là:

(9996 – 1003) : 17 + 1 = 530 (số).

Chiều rộng mảnh đất là:

45 : 3 = 15 (m)

Diện tích mảnh đất là:

15 × 45 = 675 (m²).

Diện tích làm nhà là:

675 × 35% = 236,25 (m²).

Diện tích còn lại là:

675 – 236,25 = 438,75 (m²).

Đáp số: 438,75 m².

a) Chiều rộng của miếng đất là: 

210: 7 = 30 (m)

Diện tích miếng đất đó là: 

45 . 30 = 1350 (m²)

b) Số bắp thu hoạch được trên miếng đất đó là: 

1350 : 225 . 5= 30 (tạ)

a) 10; 12; 14; 15; 16; 18

30; 32; 33; 34; 35; 36; 38; 39

b) 51; 53; 59                                      

91; 97

3xy + 2x – y = 0

⇔ 9xy + 6x – 3y – 2 + 2 = 0

⇔3x (3y + 2) – (3y + 2) = –2

⇔ (3y + 2)(3x – 1) = – 2

Vì x, y là số nguyên nên ta có bảng:

Vậy (x; y) ∈ {(1; –1); (0; 0)}.