Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ (M thuộc OP), IN // OP (N thuộc OQ). Chứng minh rằng:

a) Tam giác IMN cân tại I.

Trong một cuộc thi chạy 100m, bạn Trung chạy hết $\frac{1}{4}$ phút, bạn Minh chạy hết $\frac{1}{3}$ phút. Bạn nào chạy nhanh hơn và nhanh hơn bao nhiêu giây?

Cửa hàng bán số gạo tẻ nhiều hơn số gạo nếp 36 kg, trong đó số gạo nếp bằng $\frac{3}{5}$ số gạo tẻ. Hỏi mỗi loại bán được bao nhiêu kg?

Hai thùng chứa 100 lít dầu. Sau khi đổ 10 lít từ thùng 1 sang thùng thứ 2 thì số dầu thùng thứ 2 bằng $\frac{2}{3}$ số ở thùng 1. Hỏi ban đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

c) Trên tia đối của tia NM lấy E sao cho N là trung điểm ME. Gọi K là giao điểm của EI và MC. Chứng minh MC = 3KC.

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3, 4, 5 và chữ số 4 đứng cạnh chữ số 3 và chữ số 5?

Một phân xưởng có 24 máy dệt, mỗi ngày dệt được 264 áo. Nếu phân xưởng đó có thêm 12 máy nữa thì mỗi ngày dệt được tất cả bao nhiêu áo? (Năng suất mỗi máy không đổi).

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số đó thì được số có năm chữ số lớn hơn số phải tìm 11 212 đơn vị.

Tính hợp lý: (10² + 11² + 12²) : (13² + 14²).

Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, BC
a) Tính độ dài của MN biết AC = 16 cm.

b) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh tứ giác BMIN là hình bình hành.

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và $\widehat{A}=60°$.

a) Tính cạnh BC.                        

Một người bơi dọc trong bể bơi dài 50 m. Bơi từ đầu bể đến cuối bể hết 20 giây, bơi tiếp từ cuối bể quay về đầu bể hết 22 giây. Xác định tốc độ trung bình và vận tốc trung bình trong 3 trường hợp sau:

a) Bơi từ đầu bể đến cuối bể.

Tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n là 1 số có 3 chữ số giống nhau. Tìm số tự nhiên n.