Cách 1:

Số bao muối của 7 gian muối là:

85 × 7 = 595 (bao muối)

Khối lượng muối cửa hàng có tất cả là:

595 × 5 = 2 975 (yến muối)

Đổi 2 975 yến = 29 750 kg

Cách 2:

Số yến  muối của mỗi gian muối là:

7 × 5 = 35 (yến)

Đổi 35 yến = 350 kg

Khối lượng muối của hàng tất cả là:

350 × 85 = 29 750 (kg muối)

Vậy cửa hàng có 29 750 kg muối.

Khối lượng muối trong 350 g nước muối loại 10% là:

350 : 100 × 10 = 35 (g)

Khối lượng muối sau khi thêm vào là :

50 + 35 = 85 (g)

Tỉ lệ phần trăm muối cần tìm là :

85 × 100 : (350 + 50) = 21,25%

Vậy khi đó bình nước chứa 21, 25% muối.

Lời giải

Vì 0 ∈ ℕ mà ℕ ⊂ ℤ.

Do đó 0 ∈ ℤ và 0 ∈ ℕ.

Ta có: $\frac{n+7}{n-2}=\frac{n-2+9}{n-2}=1+\frac{9}{n-2}$

Để $\frac{n+7}{n-2}\in \mathbb{Z}$ thì $\frac{9}{n-2}\in \mathbb{Z}$

⇔ 9 ⋮ n – 2

⇔ n – 2 ∈ Ư(9) = {1; 3; 9; –1; –3; –9}

⇔ n ∈ {3; 5; 11; 1; –1; –7}

Mà n ∈ ℕ

Suy ra n ∈ {3; 5; 11; 1}

Vậy n ∈ {3; 5; 11; 1}.

Đổi 1 phút = 60 giây

Bạn Trung  chạy hết số giây là:

$60\text{ x }\frac{1}{4}=15$ (giây)

Bạn Minh chạy hết số giây là:

$60\text{ x }\frac{1}{3}=20$ (giây)

Bạn Trung chạy nhanh hơn và nhanh hơn số giây là:

20 – 15 = 5 (giây)

Vậy Trung chạy nhanh hơn Minh và nhanh hơn 5 giây.

Trong 1 tuần nhà máy A tiêu thụ hết:

1 165 250 × 7 = 8 156 750 (lít nước)

Trong 1 tuần nhà máy B tiêu thụ hết:

8 071 750 × 7 = 56 502 250 (lít nước)

Trong cả tuần đó, hai nhà máy tiêu thụ hết:

8 156 750 + 56 502 250 = 64 659 000 (lít nước)

a) (10 – 9,34) + (10 – 9,66)

= 10 – 9,34 + 10 – 9,66

= (10 + 10) + (–9,34 – 9,66)

= 20 – 19

= 1.

b) 12 – (12 – 9,36)

= 12 – 12 + 9,36

= 0 + 9,36

= 9,36.

Vì (x + 3)²⁰²² ≥ 0 với mọi x

(y – 2)²⁰²² ≥ 0 với mọi y

Nên (x + 3)²⁰²² + (y – 2)²⁰²² ≥ 0 với mọi x, y

Dấu “ = ” xảy ra khi

Vậy x = –3, y = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.

Vì x là tổng các số nguyên có 2 chữ số

Nên x = 0

Vì y số nguyên âm lớn nhất

Nên y = –1

Thay x = 0, y = –1 vào A ta có:

A = 2009 . 0²⁰⁰⁶ – 2008 . (–1)²⁰⁰⁷

A = 2009 . 0 – 2008 . (–1) 

A = 0 + 2008

A = 2008.

Xét tam giác MCB có: BM = BC (giả thiết)

Suy ra tam giác MCB cân tại B, nên $\widehat{BCM}=\widehat{HMC}$

Xét tam giác CHM vuông tại H có $\widehat{HMC}+\widehat{HCM}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay $\widehat{HCM}=90°-\widehat{HMC}$

Ta có: $\widehat{MCN}+\widehat{MCB}=\widehat{ACB}=90°$

Hay $\widehat{NCM}=90°-\widehat{MCB}$

Mà $\widehat{BCM}=\widehat{HMC}$, suy ra $\widehat{HCM}=\widehat{MCN}$

Xét tam giác MCH và tam giác MCN có:

CH = CN (giả thiết);

$\widehat{HCM}=\widehat{MCN}$ (chứng minh trên);

CM chung

Do đó ∆MCH = ∆MCN (c.g.c)

Suy ra $\widehat{CHM}=\widehat{CNM}$

Mà $\widehat{CHM}=90°$, do đó $\widehat{CNM}=90°$

Hay MN vuông góc với AC

Vậy MN vuông góc với AC.

Ta thấy

98 quay ngược được 86

88 quay ngược được 88

68 quay ngược được 898

06 quay ngược được 90

16 quay ngược được 91

Suy ra số nằm giữa 86 và 88 là 87 

Vậy số cần tìm là 87.

Ta thấy nếu đội thứ hai bớt đi 164 m thì bằng đội thứ nhất, vậy tổng trừ đi hiệu thì được 2 lần đội thứ nhất.

Đội thứ nhất đào được số mét đường là:

(900 – 164) : 2 = 368 (m)

Đội thứ hai đào được số mét đường là:

900 – 368 = 532 (m)

Vậy đội thứ nhất đào được 368 m, đội thứ hai đào được 532 m.

Ta có:

Vậy (10² + 11² + 12²) : (13² + 14²) = 1.

Ta có: $\frac{1}{9}+\frac{2}{8}+\frac{3}{7}+\mathrm{...}+\frac{9}{1}$

Suy ra

Vậy x = 10.

Ta có a + b + c + d = 0

⇔ a + b = – c – d

⇔ (a + b)³ = (– c – d)³

⇔ a³ + b³ + 3ab(a + b) = – c³ – d³ – 3cd(c + d)

⇔ a³ + b³ + c³ + d³ = – 3cd(c + d) – 3ab(a + b)

⇔ a³ + b³ + c³ + d³ = – 3cd(c + d) + 3ab(c + d)

⇔ a³ + b³ + c³ + d³ = 3(c + d)(ab – cd)

Vậy a³ + b³ + c³ + d³ = 3(c + d)(ab – cd).

a) Vì AB = BC (giả thiết) nên tam giác ABC cân tại B

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$

Vì AB // CD nên $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$

Do đó $\widehat{BCA}=\widehat{ACD}$

Suy ra CA là tia phân giác của $\widehat{BC\text{D}}$.

b) Xét ΔABD có: F, M lần lượt là trung điểm của BD, AD

Suy ra MF là đường trung bình của ΔABD

Do đó MF // AB             

Xét ΔACD có: M, E lần lượt là trung điểm của AD, AC

Suy ra ME là đường trung bình của ΔABC

Do đó ME // CD                       

Xét ΔABC có: N, E lần lượt là trung điểm của BC, AC

Suy ra NE là đường trung bình của ΔABC

Do đó NE // AB                        

Xét ΔBCD có: F, N lần lượt là trung điểm của BD, BC

Suy ra NF là đường trung bình của ΔABC

Do đó NF // CD                        

Ta có:

AB // CD, NF // CD, NE // AB, MF // AB, ME // CD                           

Suy ra N, E, F, M thẳng hàng

Vậy N, E, F, M thẳng hàng.

Trên tia BN lấy điểm E sao cho N là trung điểm của BE

Xét tam giác NBC và tam giác NED có:

BN = EN;

$\widehat{BNC}=\widehat{DNE}$ (hai góc đối đỉnh);

CN = ND (giả thiết)

Suy ra ∆NBC = ∆NED (c.g.c)

Do đó DE = BC (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{CBN}=\widehat{NE\text{D}}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc $\widehat{CBN}$ và $\widehat{NE\text{D}}$ ở vị trí so le trong, suy ra BC // DE

Ta có:$MN=\frac{BC+A\text{D}}{2}\iff MN=\frac{DE+A\text{D}}{2}$

Xét tam giác ABE có M, N là trung điểm của AB, BE

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABE

Do đó MN // AE và $MN=\frac{1}{2}A\text{E}$

Mà $MN=\frac{DE+A\text{D}}{2}$

Suy ra DE + AD = AE

Do đó A, D, E thẳng hàng

Mà BC // DE, suy ra BD // AD

Hay ABCD là hình thang

Vậy ABCD là hình thang.

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp cụm số 3, 4, 5 có 2 cách sắp xếp là 345 và 543

TH1: Cụm 2 số 3, 4, 5 đứng đầu có:

2 . 7 . 6 . 5 = 240 số thỏa mãn

TH2: Cụm 3 số 3, 4, 5 không đứng đầu có 3 cách sắp xếp là $\overline{a345bc},\overline{ab345c},\overline{abc345}$

3 chữ số còn lại có: 6 . 6 . 5 = 180 cách chọn và sắp xếp

Do đó có 2 . 3 . 180 = 1 080 số thỏa mãn

Theo quy tắc cộng có:

420 + 1 080 = 1 500 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy ta chọn đáp án D.

Sau khi đổ 10 lít từ thùng 1 sang thùng 2 thì tổng số lít dầu không thay đổi (vẫn là 100 lít)

Số lít dầu của thùng 1 sau khi chuyển là:

100 : (2 + 3) × 3 = 60 (l)

Số lít dầu của thùng 2 sau khi chuyển là:

100 : (2 + 3) × 2 = 40 (l)

Số lít dầu của thùng 1 ban đầu là:

60 + 10 = 70 (l)

Số lít dầu của thùng 2 ban đầu là:

40 – 10 = 30 (l)

Vậy ban đầu thùng 1 có 70 lít dầu và thùng 2 có 30 lít dầu.

Gọi số có 3 chữ số giống nhau là $\overline{\text{aaa}}$

Ta có: $1+2+3+\mathrm{...}+n=\overline{\text{aaa}}$

⇔ n(n + 1) = 2 . 111 . a

⇔ n(n + 1) = 222 . a

⇔ n(n + 1) = 6 . 37 . a

Vì 6 . 37 . a chia hết cho 37

Nên n(n + 1) cũng chia hết cho 37

Suy ra n hoặc (n + 1) phải chia hết cho 37

Mà 6 . a ≤ 6 . 9  

Hay 6 . a ≤ 54

Ta có 36 . 37 hoặc 37 . 38

Vì 38 không chia hết cho 6 nên n = 36 và n + 1 = 37

Vậy n = 36.

b) Xét tam giác BCH vuông ở H

Suy ra $CH=BC\sin \widehat{B}=20.\sin 60°=10\sqrt{3}$ (cm)

Ta có $HM=MB-HB=\frac{1}{2}AB-BH=15-10=5$

Vì N là trung điểm của CD nên $NC=\frac{1}{2}C\text{D}=\frac{1}{2}.10=5$

Suy ra MH = NC

Mà MH // NC

Suy ra MHCN là hình bình hành, nên MN = HC

Mà $CH=10\sqrt{3}$, suy ra $MN=10\sqrt{3}$

Vậy $MN=10\sqrt{3}$

Ta có: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$

Ta có: $\frac{x^3-7\text{x}-6}{x^2{\left(x-3\right)}^2+4\text{x}{\left(\text{x}-3\right)}^2+4{\left(\text{x}-3\right)}^2}$

Đặt f(x) = x³ + ax² + 5x + 3 và g(x) = x² + 2x + 3

h(x) là thương của phép chia f(x) cho g(x)

Ta có f(x) bậc 3, g(x) bậc 2 nên h(x) bậc 1

Suy ra h(x) có dạng x + b

Vì f(x) ⋮ g(x) nên f(x) = g(x) . h(x)

⇔ x³ + ax² + 5x + 3 = (x² + 2x + 3)(x + b)

⇔ x³ + ax² + 5x + 3 = x³ + bx² + 2x² + 2xb + 3x + 3b

⇔ x³ + ax² + 5x + 3 = x³ + x²(b + 2) + x(2b + 3) + 3b

Vậy a = 3.

Nếu thêm 12 máy nữa thì phân xưởng có: 

24 + 12 = 36 (máy)

Mỗi máy dệt được số áo mỗi ngày là:

264 : 24 = 11 (cái áo)

Mỗi ngày 36 máy dệt được là:

36 × 11 = 396 (cái áo)

Vậy thêm 12 máy nữa thì mỗi ngày dệt được 396 cái áo.

Ta có:

12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

⇔ 12x² + 6xy + 3y² – 28(x + y) = 0

⇔ 3y² + 2y(3x – 14) + 12x² – 28x = 0                     (1)

Xem (1) là phương trình bậc 2 ẩn y

Thì (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ∆’ là số chính phương

∆’ = (3x – 14)² – 3(12x² – 28x) = 9x² – 84x + 196 – 36x² + 84x

     = 196 – 27x² = k² ≥ 0

Suy ra 27x² ≤ 196 hay x² ≤ 7,26

Do đó x ∈ {0; 1; 2; –1; –2}

+) Thay x = 0 vào (1) ta có

3y² + 2y(3 . 0 – 14) + 12 . 0² – 28 . 0 = 0                          

⇔ 3y² – 28y = 0

⇔ y(3y – 28) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}y=0\\ 3y-28=0\end{array}\right.\iff y=0$ (vì y ∈ ℤ)

+) Thay x = 1 vào (1) ta có

3y² + 2y(3 . 1 – 14) + 12 . 1² – 28 . 1 = 0                          

⇔ 3y² – 22y – 16 = 0

⇔ (y – 8)(2y + 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}y-8=0\\ 2y+3=0\end{array}\right.\iff y=8$ (vì y ∈ ℤ)

+) Thay x = –1 vào (1) ta có

3y² + 2y[3 . (–1) – 14] + 12 . (–1)² – 28 . (–1) = 0                      

⇔ 3y² – 34y + 40 = 0

⇔ (y – 10)(3y + 4) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}y-10=0\\ 3y+4=0\end{array}\right.\iff y=10$ (vì y ∈ ℤ)

+) Thay x = 2 vào (1) ta có

3y² + 2y(3 . 2 – 14) + 12 . 2² – 28 . 2 = 0                          

⇔ 3y² – 8y – 8 = 0 (không có nghiệm y nguyên)

+) Thay x = –2 vào (1) ta có

3y² + 2y[3 . (–2) – 14] + 12 . (–2)² – 28 . (–2) = 0                      

⇔ 3y² – 20y + 80 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm x, y nguyên là (0; 0), (1; 8), (–1; 10).

a) Xét ΔOPQ có: I là trung điểm của PQ và IN // OP

Do đó N là trung điểm của OQ

Xét ΔOPQ có: I là trung điểm của PQ và IM // OQ

Do đó M là trung điểm của OP

Vì tam giác OPQ cân tại O  nên $\widehat{P}=\widehat{Q}$ và OP = OQ

Suy ra MP = NQ = OM = ON

Xét ΔMPI và ΔNQI có 

MP = NQ (chứng minh trên);

$\widehat{P}=\widehat{Q}$ (chứng minh trên);

PI = QI (giả thiết)

Do đó: ΔMPI = ΔNQI (c.g.c)

Suy ra: IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Hay ΔIMN cân tại I.

b) Ta có: OM = ON (chứng minh câu a)

Nên O nằm trên đường trung trực của MN                        (1)

Ta có: IM = IN (chứng minh câu a)

Nên I nằm trên đường trung trực của MN                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực của MN

Vậy OI là đường trung trực của MN.

Ta có:

x² – 49 + y² – 2xy

a) 125 : 5² = 5³ : 5² = 5^3-2 = 5.

b) 27⁵ : 81³ = (3³)⁵ : (3⁴)³ = 3¹⁵ : 3¹² = 3^15-12 = 3³.

c) 8⁴ × 16⁵ × 32 = (2³)⁴ × (2⁴)⁵ × 2⁵ = 2¹² × 2²⁰ × 2⁵ = 2^12+20+5 = 2³⁷.

d) 27⁴ × 81¹⁰ = (3³)⁴ × (3⁴)¹⁰ = 3¹² × 3⁴⁰ = 3¹²⁺⁴⁰ = 3⁵².

a) 34² + 66² + 68 . 66

= 34² + 2 . 34 . 66 + 66²

= (34 + 66)²

= 100²

= 10 000.

b) 74² + 24² – 48 . 74

= 74² – 2 . 74 . 24 + 24²

= (74 – 24)²

= 50²

= 2 500.

a) Gọi I  là giao điểm của AH và PN

Xét tam giác ABC có P, N là trung điểm của AB, AC

Do đó PN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra PN // BC

Mà AH ⊥ BC nên PN ⊥ AH                (1)

Ta có : PN // BC mà PI thuộc PN nên PI // BC

Xét tam giác AHB có PI // BC và P là trung điểm của AB

Suy ra I là trung điểm của AH               (2)

Từ (1) và (2) suy ra PN là đg trung trực của AH.

b) Xét tứ giác MNPH có HM // PN

Suy ra tứ giác MNPH là hình thang

Xét tam giác ABC có P, M là trung điểm của AB, BC

Suy ra PM là đường trung bình của tam giác ABC

Do đó $PM=\frac{1}{2}AC$

Xét tam giác AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC 

Suy ra $HN=\frac{1}{2}AC$

Mà $PM=\frac{1}{2}AC$, do đó HN = PM

Xét hình thang MNPH có PM = HN

Suy ra MNPH là hình thang cân (dấu hiệu)

Vậy MNPH là hình thang cân.

a) Xét ΔABC có M, N là trung điểm của AB, BC

Do đó MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN // AC và $MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.16=8$ (cm)

b) Xét ΔBAC có M, I là trung điểm của AB, AC

Do đó: MI là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MI // BC và $MI=\frac{1}{2}BC$

Mà $BN=\frac{1}{2}BC$

Nên MI // BN và MI = BN

Suy ra BMIN là hình bình hành.

c) Ta có $MN=\frac{1}{2}AC,IC=\frac{1}{2}AC$ và MN = NE

Suy ra $EN=IC$, $IC=\frac{1}{2}ME$

Mà EN // IC

Do đó NECI là hình bình hành

Mà MC cắt IE tại K

Suy ra $\frac{KC}{KM}=\frac{IC}{ME}$

Hay $\frac{KC}{KM}=\frac{1}{2}$

Do đó KM = 2KC

Ta có MC = KC + KM = KC + 2KC = 3KC

Vậy MC = 3KC.

Ngày thứ nhất cửa hàng bán được số gạo là

$30\times \frac{1}{5}=6$ (kg)

Sau khi bán buổi sáng cửa hàng cón lại số gạo là

30 – 6 = 24 (kg)

Ngày thứ hai cửa hàng bán được số gạo là

$24\times \frac{1}{4}=6$ (kg)

Vậy ngày thứ hai cửa hàng bán được 6 kg gạo.

Số kg gạo nếp bán được là:

36 : (5 – 3) × 3 = 54 (kg)

Số kg gạo tẻ bán được là:

54 + 36 = 90 (kg)

Vậy cửa hàng bán được 54 kg gạo nếp và 90 kg gạo tẻ.

Cưa cây gỗ dài 7 m được số đoạn là:

7 : 1 = 7 (đoạn)

Cưa cả cây gỗ đó hết:

7 × 12 = 84 (phút)

Vậy cưa cả cây gỗ hết 84 phút.

9 bộ gấp 3 bộ số lần là:

9 : 3 = 3 (lần)

May 9 bộ quần áo cần số mét vải là:

7 × 3 = 21 (m)

Vậy may 9 bộ quần áo hết 21 m vải.

Số người công nhân hiện có là:

9 + 18 = 27 (người)

27 người đắp được số m đường là:

27 : 9 × 60 = 180 (m)

Vậy bổ sung thêm 18 người nữa cùng đắp thì trong một ngày đắp được 180 mét đường.

Số tiền mẹ có là: 8 000 × 3 = 24 000 (đồng)

Số ki – lô – gam mận mẹ mua được là:

24 000 : 6 000 = 4 (kg)

Vậy mẹ mua được 4 kg mận.

1 ngày có số người ăn hết từng đó số gạo là:

85 × 18 = 1 530 (người)

Trong 15 ngày thì có số người ăn hết là:

1 530 : 15 = 102 (người)

Số người đến ăn thêm là:

102 – 85 = 17 (người)

Vậy có 17 người đến ăn thêm.

Số giây để in hết 3 600 trang giấy là:

3 600 × 5 = 18 000 (giây)

Đổi 18 000 giây = 300 phút = 5 giờ 

Số phút để máy nghỉ là:

4 × 5 = 20 (phút)

Thời gian để in hết 3 600 trang giấy là:

300 + 20 = 320 (phút)

Vậy cần 320 phút để in hêt 3 600 trang giấy.