Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi ba màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có 2 đầu mút có cùng màu và khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Giải bởi Vietjack
Dựng , P là một điểm thuộc
. Dựng hình thoi OPAB có đường chéo OP, cạnh là 1.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có:
OI =
⇒ AI2 = AO2 – OI2 = 1 – = .
⇒ AI = ⇒ AB = 1.
Vậy tam giác AOB đều có cạnh bằng 1.
Giả sử ngược lại, mọi cặp hai điểm có khoảng cách giữa chúng bằng 1 mà đều được tô bằng hai màu khác nhau.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử điểm O được tô bằng màu xanh, điểm A được tô màu đỏ và điểm B tô màu vàng.
Bởi vì PA = PB = 1 nên P phải được tô màu xanh.
Với cách lập luận như vậy ta suy ra, tất cả các điểm trên đường tròn đều được tô cùng một màu xanh. Mặt khác dễ dàng tìm được trên hai điểm mà khoảng cách giữa chúng bằng 1, nên theo giả sử chúng được tô bằng hai màu khác nhau. Vô lý.
Điều vô lý đó chứng tỏ có hai điểm được tô cùng một màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Nhà bác Hà có 85 con gà và vịt. Sau khi bác bán đi 15 con gà và mua thêm 7 con vịt thì số vịt nhiều hơn số gà là 9 con. Hỏi lúc đầu mỗi loại có bao nhiêu con ?
Năm nay, tổng số tuổi của hai mẹ con là 44 tuổi, mẹ hơn con 28 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người?
Trong một trang trại có một số gà và thỏ. Số gà nhiều hơn số thỏ là 12 con. Chúng có tổng cộng 228 cái chân. Hỏi trang trại đó có bao nhiêu con gà?
Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc và một đoạn nằm ngang hết tổng cộng 2 giờ. Lúc về người đó đi từ B đến A hết 1 giờ 10 phút. Biết vận tốc trên đoạn lên dốc là 8 km/giờ, vận tốc trên đoạn xuống dốc là 18 km/giờ, vận tốc trên đoạn nằm ngang là 12 km/giờ. Tính quãng đường AB.
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất biết khi chia cho 11; 17; 29 thì số dư lần lượt là 6; 12; 24.
Một quầy lương thực, ngày thứ nhất bán được 345kg gạo, ngày thứ hai bán được 360 kg gạo. Ngày thứ ba bán được số gạo nhiều hơn trung bình cộng số gạo bán được trong cả ba ngày là 75kg. Hỏi ngày thứ ba quầy lương thực đó bán được bao nhiêu kg gạo?
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 24m, chiều rộng bằng chiều dài. Người ta đã sử dụng diện tích mảnh đất để làm nhà.
a) Tính diện tích mảnh đất đó?
b) Tính diện tích phần đất làm nhà?
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a sao cho khi chia a cho 4, 5, 6 có số dư lần lượt là 3, 4, 5 và a chia hết cho 13.
Một trường tổ chức cho khoảng từ 700 đến 800 học sinh đi tham quan bằng ô tô. Tính số học sinh đi tham quan, biết rằng nếu xếp 40 người hay 45 người lên một xe đều vừa vặn. Nếu xếp 40 người thì cần bao nhiêu xe?
