A = $\frac{x^2+3x+1}{x+2}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)-1}{x+2}=x+1-\frac{1}{x+2}$

Để A có giá trị là số nguyên thì 1 chia hết cho x + 2.

Suy ra x + 2 = 1 hoặc x + 2 = –1.

Hay x = –1 hoặc x = –3.

Vậy x ∈ {–1; –3}.

Ta có:

x – y = 7 ⇔ x = y + 7

Lại có: xy = 60

⇔ (y + 7)y – 60 = 0

⇔ y² + 7y – 60 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}y=5\\ y=-12\end{array}\right.$

Vì y > 0 nên y = 5.

Với y = 5 thì x = 5 + 7 = 12.

Vậy (x; y) = (12; 5).

3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ

Xét n = 2, ta có: 3² + 4² = 5² (đúng).

Xét n = 3, ta có: 3³ + 4³ ≠ 5³

Xét n > 3, n có dạng n = 3k; 3k + 1; 3k + 2.

+ Nếu n = 3k ta có: 3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ

⇔ 3^3k + 4^3k = 5^3k

⇔ 64^k = 125^k – 27^k

Ta thấy 125^k ⋮ 3 và 27^k ⋮ 3 nên 125^k – 27^k ⋮ 3

Mà 64^k không chia hết cho 3. Suy ra vô lí.

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

+ Nếu n = 3k + 1 ta có:

3^3k+1 + 4^3k+1 = 5^3k+1

3 . 27^k + 4 . 64^k = 5 . 125^k

Ta thấy 5. 125^k ⋮ 3 và 3 . 27^k ⋮ 3

Mà 64^k không chia hết cho 3. Suy ra 4 . 64^k không chia hết cho 3.

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

+ Nếu n = 3k + 2 ta có:

3^3k+2 + 4^3k+2 = 5^3k+2

9 . 27^k + 16 . 64^k = 25 . 125^k

Chứng minh tương tự như trên, trường hợp này cũng vô nghiệm.

Vậy n = 2.

x⁴ + 2x³ + x²  < x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 < x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x + 4

(x² + x)² < x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 < (x² + x + 2)²

Suy ra: x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = (x² + x + 1)²

⇔ x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1

⇔ x² + x – 2 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy x = 1 hoặc x = –2.

Sử dụng định lí: r⁵ – (r – 1)⁵ = 5r⁴ – 10r³ + 10r² – 5r + 1.

Với r = 1 đến r = n, ta có:

1⁵ – 0⁵ = 5 . 1⁴ – 10 . 1³ + 10 . 1² – 5 . 1 + 1

2⁵ – 1⁵ = 5 . 2⁴ – 10 . 2³ + 10 . 2² – 5 . 2 + 1

3⁵ – 2⁵ = 5 . 3⁴ – 10 . 3³ + 10 . 3² – 5 . 3 + 1

...

n⁵ – (n – 1)⁵ = 5n⁴ – 10n³ + 10n² – 5n + 1

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

n⁵ = 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) – 10(1³ + 2³ + ... + n³) + 10(1² + 2² + ... + n²) – 5(1 + 2 + ... + n) + n

⇔ n⁵ = 5S – 10 . ${\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2$  + 10 . $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$  $-\frac{5\left(n+1\right)n}{2}$+ n 

⇒ 5S = n⁵ + 10 . ${\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2$   – 10 .  $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$+ $\frac{5\left(n+1\right)n}{2}-n$

          = $n.\frac{6n^4+15\left(n^3+2n^2+n\right)-10\left(2n^2+3n+1\right)+15\left(n+1\right)-6}{6}$

          =  $\frac{n}{6}\left(6n^4+15n^3+10n^2-1\right)$

          = $\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(6n^3+4n^2+n-1\right)$

          =  $\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\left(3n^2+3n-1\right)$

Biểu diễn tập hợp bằng một vòng tròn kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu bằng bởi một chấm trong vòng tròn kín, còn phần tử không thuộc tập hợp biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng tròn kín (biểu diễn như hình dưới đây). Cách biễu diễn tập hợp như trên gọi là biểu đồ ven.

$\left|x-\frac{1}{2}\right|=3$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}=3\\ x-\frac{1}{2}=-3\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\ x=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$ .

Vậy x = $\frac{7}{2}$   hoặc x = $-\frac{5}{2}$  .

x² + x – 20

= x² – 4x + 5x – 20

= x(x – 4) + 5(x – 4)

= (x – 4)(x + 5).

a) Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp A là các số tự nhiên lẻ lớn hơn 12 và nhỏ hơn 30.

Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

A = {x | x là số tự nhiên lẻ, 12 < x < 30}.

b) Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp B là các số tự nhiên chẵn lớn hơn hoặc bằng 22 và nhỏ hơn hoặc bằng 42.

Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

B = {x|x là số tự nhiên chẵn, 22 ≤ x ≤ 42}.

c) Cách 1:

Ta có:

7 = 4.1 + 3; 11 = 4.2 + 3; 15 = 4.3 + 3; 19 = 4.4 + 3; 23 = 4.5 + 3; 27 = 4.6 + 3.

Ta nhận thấy các số trên đều có dạng 4.x + 3 với x ∈ {1,2,3,4,5,6} .

Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

C = {4x + 3| x là số tự nhiên, 0 < x < 7}.

Cách 2:

Ta nhận thấy các phần tử trong tập hợp C là các số tự nhiên lẻ và cách nhau 4 đơn vị.

C = {xk| xk là số tự nhiên lẻ, xk+1 – xk = 4,k ∈ N }.

d) Ta thấy các phần tử của tập hợp D là các số chính phương lớn hơn 3 và nhỏ hơn 50.

Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

D = {x| x là số chính phương, 3 < x < 50}.

a) 19345 : 53 = 365

b) 2632 : 28 = 94

c) 3358 : 46 = 73

a) A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

A = (1 + 2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴ + 2⁵) + … + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 7 + 2³ (1 + 2¹ + 2²) + … + 2⁵⁸ (1 + 2¹ + 2²)

A = 7 (1 + 2³ + … + 2⁵⁸)

Vì 7 ⋮ 7 nên 7 (1 + 2³ + … + 2⁵⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7

b) Số nhỏ nhất có 2 chữ số là 10. Nên số liền sau nó là 11.

Khi đó: 2x = 11 + 1 = 12

⇔ x = 12 : 2

⇔ x = 6.

Vậy x = 6.

a + b + c = 0

⇔ (a + b + c)² = 0

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0

⇔ ab + bc + ca = –7.

Bình phương 2 vế ta có:

(ab + bc + ca)² = 49

⇔ a²b² + b²c² + a²c² + 2abc (a + b + c) = 49

⇔ a²b² + b²c² + a²c² = 49.

Lại có:

a² + b² + c² = 14

⇔ (a² + b² + c²)² = 14² = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + a²c²) = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2 . 49 = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 196 – 98

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 98.

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ = 98.

A = 2 + 2² + … + 2¹⁰⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + … + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

A = (2 + 2²) + 2² (2 + 2²) + … + 2⁹⁸ (2 + 2²)

A = (2 + 2²)(1 + 2² + … + 2⁹⁸)

A = 6 (1 + 2² + … + 2⁹⁸)

Vì 6 ⋮ 6 nên 6 (1 + 2² + … + 2⁹⁸) ⋮ 6

Vậy A ⋮ 6.

Chiều dài khu đất là:

324 : 12 = 27 (m)

Chu vi khu đất là:

(27 + 12) . 2 = 78 (m).

Đáp số: 78 m.

Tổng số gà và vịt sau khi bán và mua thêm là:

85 – 15 + 7 = 77 (con)

Lúc đầu, số con vịt là:

(77 + 9) : 2 – 7 = 36 (con)

Lúc đầu số con gà là:

85 – 36 = 49 (con).

Sau khi bớt đi ở số bị trừ đi 478 và thêm vào số trừ 235 thì hiệu hai số mới là 2084.

Vậy hiệu của hai số ban đầu là:

2084 + 478 + 235 = 2797

Đáp số: 2797.

Tổng số tuổi của bố, mẹ và Hoa cộng lại là:

30 . 3 = 90 (tuổi)

Tổng số tuổi của mẹ và Hoa cộng lại là:

24 . 2 = 48 (tuổi)

Tuổi bố hiện nay là:

90 – 48 = 42 (tuổi)

Đáp số: 42 tuổi

x – 36 : 18 = 12

x – 2 = 12

x = 12 + 2

x = 14.

Vậy x = 14.

Với p = 2, ta có: 2p² + 1 = 9 (loại vì không là số nguyên tố)

Với p = 3, ta có: 2p² + 1 = 19 (thỏa mãn)

Với p > 3, vì p là số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.

+ Nếu p = 3k + 1 thì 2p² + 1 = 2(3k + 1)² + 1 = 18k² + 12k + 3 ⋮ 3

Suy ra: loại vì không là số nguyên tố

+ Nếu p = 3k + 2 thì 2p² + 1 = 2(3k + 2)² + 1 = 18k² + 24k + 9 ⋮ 3

Suy ra: loại vì không là số nguyên tố

Vậy p = 3.

40a³b³c³ + 12a³b⁴c² – 20a⁴b⁵c

= 4a³b³c (10c² + 3bc – 5ab²).

[(6x – 72) : 2 – 84] . 4 = 24⁵ : 24⁴

[(6x – 72) : 2 – 84] . 4 = 24

(6x – 72) : 2 – 84 = 24 : 4

(6x – 72) : 2 – 84 = 6

(6x – 72) : 2 = 90

6x – 72 = 180

6x = 252

x = 252 : 6

x = 42

Vậy x = 42.

Ta quy đồng mẫu số hai phân số, được:

$\frac{a+3}{a-4}=\frac{\left(a+3\right)\left(a-8\right)}{\left(a-4\right)\left(a-8\right)}=\frac{a^2-5a-24}{\left(a-4\right)\left(a-8\right)}$

$\frac{a+6}{a-8}=\frac{\left(a+6\right)\left(a-4\right)}{\left(a-8\right)\left(a-4\right)}=\frac{a^2+2a-24}{\left(a-8\right)\left(a-4\right)}$

Ta thấy a² – 5a – 24 ≠ a² + 2a – 24 nên hai phân số đã cho không bằng nhau.

Số hộp chia hết cho 10 là:

10 = 1 × 10 = 2 × 5

Vì mỗi hộp cần số bánh nhiều hơn 1 và ít hơn 10 nên số hộp cần là 2 hộp để mỗi hộp bánh có 5 cái bánh.

Vậy cần 2 hộp bánh.

Ta có: n² + n + 1 = (n – 1)(n + 2) + 3.

Giả sử n² + n + 1 chia hết cho 9

Khi đó (n – 1)(n + 2) + 3 chia hết cho 9 (1)

⇒ (n – 1)(n + 2) + 3 chia hết cho 3

Mà n + 2 – (n – 1) = 3 chia hết cho 3

n + 2 và n – 1 đều chia hết cho 3. Do đó: (n – 1)(n + 2) chia hết cho 9. (2)

Từ (1) và (2), suy ra 3 chia hết cho 9 (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì n² + n + 1 không chia hết cho 9.

5 người trong 1 ngày ăn hết:

20 : 8 = 2,5 (kg rau)

1 người trong 1 ngày ăn hết:

2,5 : 5 = 0,5 (kg rau)

7 người trong 1 ngày ăn hết:

0,5 × 7 = 3,5 (kg rau)

7 người trong 5 ngày ăn hết:

3,5 × 5 = 17,5 (kg rau).

Ta thấy: VE là cụm từ 2 chữ cái. Mà từ ACTIVE có 6 chữ cái nên VE có đến 5 chỗ đứng.

(Ví dụ ACTIVE, VE có chỗ đứng ở cuối từ)

Trong mỗi lần VE chọn một chỗ đứng, 4 chữ cái còn lại sẽ thay phiên nhau mà chọn chỗ đứng.

Vì vậy, mỗi lần VE chọn một chỗ đứng, số cách để sắp xếp 4 chữ còn lại là:  

4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách)

Do VE có thể đứng ở 5 chỗ nên số cách xếp các chữ cái của ACTIVE là:    

24 . 5 = 120 (cách)

Đáp số: 120 cách.

Số tuổi hiện nay của mẹ là:

(44 + 28) : 2 = 36 ( tuổi )

Số tuổi hiện nay của con là

44 – 36 = 8 ( tuổi )

Đáp số: Mẹ: 36 tuổi; Con: 8 tuổi.

Vì các số đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3

⇒ Khoảng cách giữa các số đó chính là BCNN(2; 3) = 6

Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 2 và 3 là 96

Số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 2 và 3 là 12

Khoảng cách giữa 2 số vừa chia hết cho 2 và 3 là: 6

Vậy số lượng số có 2 chữ số chia hết cho 2 và 3 là:

( 96 – 12 ) : 6 + 1 = 15 (số)

Đáp số: 15 số.

Số có 2 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 3 là: 12

Số có 2 chữ số lớn nhất chia hết cho 3 là: 99

Có số số có 2 chữ số chia hết cho 3 là:

 (99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số)

Đáp số: 30 số.

Gọi số gà là x (con) và số thỏ là y (con)

Số gà gấp đôi số thỏ nên x = 2y (1)

Tổng số chân gà và chân thỏ là 96 chân, trong đó gà 2 chân thỏ 4 chân nên ta có

2x + 4y = 96(2)

Ta thay (1) vào (2) được: 2 . 2y + 4y = 96 ⇒ y = 12

Vậy số thỏ là 12 con.

Vậy số gà là:

12 . 2 = 24 (con).

Vì a chia 4 dư 3 nên a – 3 ⋮ 4 ⇒ a – 3 + 4 ⋮ 4 ⇒ a + 1 ⋮ 4 (1)

Vì a chia 5 dư 4 nên a – 4 ⋮ 5 ⇒ a – 4 + 5 ⋮ 5 ⇒ a + 1 ⋮ 5 (2)

Vì a chia 6 dư 5 nên a – 5 ⋮ 6 ⇒ a – 5 + 6 ⋮ 6 ⇒ a + 1 ⋮ 6 (3)

Từ (1);(2);(3)⇒ a + 1 ⋮ BCNN(4; 5; 6) ⇒ a + 1 ∈ BC(4; 5; 6)

Ta có:

4 = 2²

5 = 5

6 = 2 . 3

BCNN(4; 5; 6) = 2² . 3 . 5 = 60

⇒ a + 1 ∈ BC(4; 5; 6) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360;...}

Vì a ∈ ℕ^* nên a + 1 ∈ ℕ^* ⇒ a + 1 > 0

⇒ a ∈ {59; 119; 179; 239; 299; 359; ...}

Vì a ⋮ 13 mà a nhỏ nhất nên a = 299

Vậy a = 299.

n chia 11 dư 6, chia 17 dư 12, chia 29 dư 24

⇒ n chia 11; 17; 29 đều thiếu 5.

⇒ n + 5 chia hết cho 11; 17; 29

Vì n nhỏ nhất ⇒ n + 5 là BCNN(11; 17; 29)

Vì 11; 17; 29 nguyên tố cùng nhau

⇒ n + 5 = BCNN(11; 17; 29) = 11 . 17 . 29 = 5423

Vậy n = 5423 – 5 = 5418.

4x – 3xy – 9y = 0

⇔ 3xy = 4x – 9y

Vì 3xy ⋮ 3 và 9y ⋮ 3 nên 4x ⋮ 3

Mà 4 không chia hết cho 3 nên x ⋮ 3.

Suy ra: x = 3k (k là số tự nhiên)

Khi đó ta có:

9ky = 12k – 9y

⇔ 9y (k + 1) = 12k

⇔ y = $\frac{12k}{9\left(k+1\right)}=\frac{4k}{3\left(k+1\right)}$

Vậy (x; y) =  $\left(3k;\frac{4k}{3k+3}\right)$(với k là số tự nhiên).

Ta có: x – y = 1 ⇔ x = y + 1

Lại có: xy = 6

⇔ (y + 1)y – 6 = 0

⇔ y² + y – 6 = 0

⇔ (y + 3)(y – 2) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}y=-3\\ y=2\end{array}\right.$

⇒ $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\end{array}\right.$

Với x = –2; y = –3 thì x² + y² = 13

Với x = 3; y = 2 thì x² + y² = 13

Vậy x² + y² = 13.

S = 1 – 2 + 3 – 4 +... + 99 – 100

S = (–1) + (–1) + … +(–1)

Vì S có 100 số hạng nên sẽ chia thành 50 cặp

Vậy S = 50 . (–1) = –50.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn $\left(O;\frac{AC}{2}\right)$

Xét tứ giác ADEC có:$\widehat{ADE}=\widehat{AEC}$ = 90°

Do đó tứ giác ADEC nội tiếp $\left(O;\frac{AC}{2}\right)$

Gọi số gạo ngày thứ ba bán được là a

Ta có:

a + 75 = $\frac{a+360+345}{3}$

⇔ 3a + 225 = a + 705

⇔ a = 240.

Vậy ngày thứ ba bán được 240 kg gạo.

Gọi 2 số cần tìm là a và b

Ta có:

a + b = 79 ⇒ a = 79 – b (1)

4a + 7b = 475(2)

Thế (1) vào (2), ta được:

4 . (79 – b) + 7b = 475

⇔ 316 – 4b + 7b = 475

⇔ 3b = 159

⇔ b = 53

⇒ a = 79 – 53 = 26

Vậy hai số cần tìm là 26 và 53.

Ta có: $\widehat{AMC}$  là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AC}$

$\widehat{BMD}$là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{DB}$

Lại có: AB // CD nên $\stackrel{⏜}{AC}$  = $\stackrel{⏜}{DB}$

Suy ra: $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ .

Sơn: 81 giây

Tùng: 1,4 phút = 1,4 . 60 = 84 (giây)

Thông: $1\frac{4}{9}$ phút = $1\frac{4}{9}$. 60 =  (giây)

Bách: 1 phút 20 giây = 80 giây

So sánh thời gian của các bạn ta thấy bạn Thông chạy mất nhiều thời gian nhất. Vậy Thông chạy với vận tốc bé nhất.

Điều phải chứng minh tương đương với:

0 ≤ ab + bc + ca – abc ≤ 2

Ta có: ab + bc + ca – abc = a(b + c) + bc(1 – a)

a² + b² + c² + abc = 4

⇒ $\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$

Do vậy tồn tại tam giác ABC không tù sao cho a = 2 cos A, b = 2 cos B, c = 2 cos C

Chứng minh trở thành: 2 cos A cos B + 2 cos B cos C + 2 cos C cos A – 4 cos A cos B cos C ≤ 1 (1).

Ta có nhận xét sau: có hai trong ba góc A, B, C không lớn hơn 60° hoặc không nhỏ hơn 60°.

Không mất tính tổng quát, giả sử hai góc đó là A và B, khi đó:

(1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0.

Mặt khác, ta có (1) tương đương với:

cos (A + B) + cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B) cos C ≤ 1

⇔ cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B – 1) cos C ≤ 1

⇒ cos (A – B) – (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) cos C ≤ 1

Do (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0 và cos (A – B) ≤ 1 nên bất đẳng thức luôn đúng. Bài toán được chứng minh.

a) Vì ΔABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R) nên O là trung điểm của BC.

⇒ BC = 2OB = 2R = 2 . 3 = 6 (cm)

Có ΔABC vuông tại A ⇒ AC = BC. sin $\widehat{B}$  = 6. $\frac{2}{3}$ = 4 (cm)

Áp dụng định lí Pythagore vào ΔABC vuông tại A:

BC² = AB² + AC²

AB² = BC² – AC² = 6² – 4² = 20

AB = $2\sqrt{5}$  (cm)

Ta thấy: $2\sqrt{5}$ > 4 nên AB > AC suy ra dây AB gần tâm hơn dây AC.

b) Dễ thấy O là trung điểm của BC và IO // BC ( cùng vuông góc với AB)

⇒ OI là đường trung bình của ΔABC ⇒ I là trung điểm AB.

⇒ OI = AC : 2 = 2 (cm)

IB = $\frac{1}{2}AB$ = $\sqrt{5}$(cm).

Mỗi toa có số chỗ ngồi là:

12 × 8 = 96 (chỗ)

Số toa ít nhất để chở hết số hành khách trên là:

620 : 96 ≈ 6,45 (toa)

Vậy cần ít nhất là 7 toa để chở hết 620 hành khách.

Chu vi mảnh đất là:

(28 + 15) × 2 = 86 (m)

Khoảng cách giữa những cái cọc là:

86 : 43 = 2 (m )

Chu vi mảnh đất hình vuông là:

25 × 4 = 100 (m)

Cần số cái cọc để đóng xung quanh khu đất là:

100 : 2 = 50 (cái)

Đáp số: 50 cái cọc.

Chiều rộng cái hồ đó là:

45 − 23,5 = 21,5 (m).

Diện tích bức tường rào đó được xây lên là:   

(45 + 21,5) × 2 × 1,6 = 212,8 (m²)

Số tiền dùng để xây bức tường rào đó là: 

40000 × 212,8 = 8512000 (đồng)

Đáp số: 8512000 đồng.

Gọi số học sinh của trường đó là a (a ∈ ℕ^*, 900 < a < 1000).

Vì xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều đủ, ta có:

a chia hết cho 3

a chia hết cho 4

a chia hết cho 5

⇒ a = BC(3; 4; 5)

 Vì ƯCLN(3; 4; 5) = 1

⇒ BCLN(3; 4; 5) = 3 . 4 . 5 = 60

⇒ BC(3; 4; 5)= B(60)

⇒ a ∈{60; 120; 180; 240; 300; 360; ...; 780; 840; 900; 960; 1020; ...}

Vì a > 900 và a có 3 chữ số ⇒ a = 960

Vậy trường đó có 960 học sinh.

Tổng 5 số là: 

162 × 5 = 810

Số thứ 5 là:

810 : (1 + 2 + 3) × 2 = 270

Số thứ 4 là:  

810 : (1 + 2 + 3) × 1 = 135

Đáp số: Số thứ 5: 270; Số thứ tư: 135.

A = 10¹² + 1 = 1000000000000 + 1 = 1000000000001.

Ta có tổng các chữ số là: 1 + 0 + 0 + 0 + … + 1 = 2.

Vì 2 không chia hết cho 3 nên 10¹² + 1 không chia hết cho 3.

Giả sử n = 2k (k là số tự nhiên)

n³ + 20n = (2k)³ + 20 . 2k = 8k³ + 40k = 8k(k² + 5)

Ta thấy 8 ⋮ 8 nên 8k(k² + 5) ⋮ 8 (1)

+ Nếu k chẵn thì k ⋮ 2 ⇒ k(k² + 5) ⋮ 2

+ Nếu k lẻ thì k² lẻ ⇒ k² + 5 chẵn ⇒ k(k² + 5) ⋮ 2

Vậy k(k² + 5) ⋮ 2 (2)

+ Nếu k ⋮ 3 thì k(k² + 5) ⋮ 3

+ Nếu k chia 3 dư 1 thì k² + 5 = (3l + 1)² + 5 = 9l² + 6l + 6 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên)

+ Nếu k chia 3 dư 2 thì k² + 5 = (3l + 2)² + 5 = 9l² + 12l + 9 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên).

Vậy k(k² + 5) ⋮ 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 8k(k² + 5) ⋮ 40.

Vậy n³ + 20n chia hết cho 48.

Số các số hạng của dãy là: $\frac{x-1}{4}+1$  .

Ta có: 1 + 5 + 9 + 13 + ... + x = 780

⇔ $\frac{x+1}{2}.\left(\frac{x-1}{4}+1\right)=780$

⇔ $\frac{x+1}{2}.\frac{x+3}{4}=780$

⇔ x² + 4x + 3 = 6240

⇔ x² + 4x – 6237 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=77\\ x=-81\end{array}\right.$

Vậy x = 77.

Hiệu số tuổi của cha và con là: 30 tuổi

Vì hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi cha gấp đôi tuổi con thì hiệu số tuổi giữa cha và con vẫn là 30 tuổi.

Tuổi cha lúc tuổi cha gấp đôi tuổi con là:

30 : (2 – 1) × 2 = 60 (tuổi)

Vậy sau số năm đến khi tuổi cha gấp đôi tuổi con là:

60 – 33 = 27 (năm).

Đáp số: 27 năm.

Gọi số cần tìm là x

Ta có: BCNN(x, 5) = 45 

Mà 45 = 5 . 9 = 5 . 3² 

5 = 5¹ và 5 là số nguyên tố

Nên x và 5 phải là hai số nguyên tố cùng nhau, mà bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó. 

Do đó x = 3² = 9.  

Vậy số cần tìm là 9.

Nếu muốn làm công việc đó trong 1 ngày thì cần số người thợ là:

10 × 12 = 120 (người thợ).

Nếu muốn làm công việc đó trong 8 ngày thì cần số người thợ là:

120 : 8 = 15 (người thợ).

Đáp số: 15 người.

$\frac{3}{8}$= 0,375.

75% của 15 bằng:

75% . 15 = 11,25.

Vậy 75% của 15 bằng 11,25.

Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.

Tách riêng số dương đó còn 30 số chia làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.

a) Vì M, D là trung điểm của AB, AH nên MD là đường trung bình của tam giác ABH

⇒ MD // BH và MD = $\frac{1}{2}$ BH (1)

Lại có: NF là đường trung bình của tam giác BHC nên NF // BH và NF = $\frac{1}{2}$  BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MD // NF và MD = NF

Suy ra: MNFD là hình bình hành. (*)

Lại có: $\widehat{MDH}+\widehat{CDH}=\widehat{BHC}+\widehat{HAC}$ = 90° (**)

Từ (*) và (**) suy ra: MNFD là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự:

EF // BC và MP // BC (là đường trung bình của tam giác BHC và tam giác ABC)

EF = MP =$\frac{1}{2}$ BC

⇒ MEFP là hình bình hành

ME // AH và EF // BC mà AH ⊥ BC nên ME ⊥ EF.

Suy ra: MEFP là hình chữ nhật.

b) ME là đường trung bình của tam giác ABD nên ME = $\frac{1}{2}$ AH

Tương tự: MD là đường trung bình của tam giác ABH nên MD =  $\frac{1}{2}$BH

DP là đường trung bình của tam giác AHC nên DP = $\frac{1}{2}$ HC

Để MD = ME = DP thì AH = BH = CH

Tức tam giác ABC là tam giác đều.

a) Ta có: (m – 2)x + (m – 1)y = 1

⇔ m(x + y) – 2x – y = 1

Đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m khi và chỉ khi:

 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ -2x-y=1\end{array}\right.$  ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định có tọa độ là (–1; 1).

b) Gọi phương trình đường thẳng đã cho là d.

d (O; d) = $\frac{\left|1\right|}{\sqrt{2m^2-5m+5}}=\frac{1}{\sqrt{2{\left(m-\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{15}{8}}}\le \sqrt{\frac{8}{15}}$

Dấu “=” xảy ra khi m =  $\frac{5}{4}$.

ƯCLN(7n + 10; 5n + 7) = d

Ta có: 7n + 10 ⋮ d và 5n + 7 ⋮ d

Suy ra: 5 (7n + 10) – 7(5n + 7) ⋮ d

⇔ 1 ⋮ d hay d = 1

Vậy 7n +10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau (n ∈ ℕ).

2n³ + 3n² + n

= n (2n² + 3n + 1)

= n (2n² +2n + n + 1)

= n [2n (n + 1) + (n + 1)]

= n (n + 1) (2n + 1)

= n (n + 1) (2n – 2 + 3)

= n (n + 1) (2n – 2) + 3n (n + 1)

= 2n (n + 1) (n – 1) + 3n (n + 1)

Ta thấy: n – 1; n và n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 3.

Vì 2 ⋮ 2 nên 2n (n + 1) (n – 1) ⋮ 2

Vậy 2n (n + 1) (n – 1) ⋮ 6. (1)

Lại có: 3 ⋮ 3 nên 3n (n + 1) ⋮ 3

Mà n, n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n (n + 1) ⋮ 2

Vậy 3n (n + 1) ⋮ 6. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2n (n + 1) (n – 1) + 3n (n + 1) ⋮ 6

Vậy 2n³ + 3n² + n ⋮ 6.

Gọi số học sinh của trường là x (học sinh) (x ∈ ℕ, 700 < x < 800).

Số học sinh có thể xếp 40 người hoặc 45 người lên 1 xe nên x là BC(40; 45).

Ta có: 40 = 2³ . 5

45 = 3² . 5

⇒ BCNN (40; 45) = 2³ . 3² . 5 = 360 ⇒ BC(40; 45) = {360; 720; 1080;.....}

Mà 700 < x < 800 ⇒ x = 720

Vậy để xếp 40 người 1 xe thì cần số xe là: 720 : 40 = 18 (xe).

Nửa chu vi khu đất là:

900 : 2 = 450 (m).

Chiều rộng khu đất là:

450 : (2 + 1) = 150 (m)

Chiều dài khu đất là:

450 – 150 = 300 (m)

Diện tích khu đất là:

300 × 150 = 45000 (m²).

Đáp số: 45 000 m².

Tổng số lương thực đủ cho 1200 người ăn trong 35 ngày là:

1200 × 35 = 42000 (lương thực)

Số người ăn trong 25 ngày là:

42000 : 25 = 1680 (người)

Số người đến thêm là:

1680 – 1200 = 480 (người).

Đáp số: 480 người.

a) Gọi chiều dài là a, chiều rộng là b

Ta có: a = b + 10 (1)

a + $\frac{1}{6}$ a = b + $\frac{1}{4}$ b ⇔ 28a = 30b ⇔ 14a = 15b (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

14 (b + 10) = 15b

Suy ra b = 140

a = 140 + 10 = 150 (m)

Suy ra: chiều dài thửa ruộng là 150m, chiều rộng thửa ruộng là 140m.

Diện tích thửa ruộng là:

150 . 140 = 21000 (m²)

b) Có số luống rau là:

150 : 2 = 75 (luống).

Chiều dài của thửa ruộng đó là:

10 : (5 – 3) × 5 = 25 (m)

Chiều rộng của thửa ruộng đó là:

25 – 10 = 15 (m)

Diện tích của thửa ruộng đó là:

25 × 15 = 375 (m²)

Số thóc của thửa ruộng đó là:

375 : 5 × 3 = 225 (kg)

Đáp số: 225 kg thóc.

Hiệu số tuổi của cha và con là :

43 – 12 = 31 (tuổi)

Vì hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi cha gấp đôi tuổi con thì hiệu số tuổi giữa cha và con vẫn là 31 tuổi.

Tuổi cha lúc tuổi cha gấp đôi tuổi con là :

31 : (2 – 1) × 2 = 62 (tuổi)

Vậy sau số năm đến khi tuổi cha gấp đôi tuổi con là :

62 – 43 = 19 (năm).

Đáp số: 19 năm.

Tổng 2 số là:

63 × 2 = 126

Hiệu 2 số là :

7 × 2 + 2 = 16

Số bé là :

(126 – 16) : 2 = 55

Số lớn là :

55 + 16 = 71 

Đáp số: 55 và 71.

Mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị.

Mà giữa hai số lẻ này có 5 số lẻ khác nhau, do đó khoảng cách giữa 2 số lẻ này là 6 khoảng.

Vậy hiệu giữa 2 số lẻ đó là:

6 . 2 = 12.

Đáp số: 12.

Ta thấy: $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}>\frac{1}{5}>\frac{1}{6}$

Nên Trung chạy nhanh nhất bởi vì thời gian nào càng ngắn thì chạy nhanh ngược lại thời gian càng dài thì chạy chậm.

Vậy bạn chạy nhanh nhất là Trung.

Ta lập dãy số như sau:

Đặt B₁ = a₁

B₂ = a₁ + a₂

B_3­ = a₁ + a₂ + a₃

….

B₁₀ = a₁ + a₂ + a₃ + … + a₁₀

Nếu tồn tại B_i (i = 1, 2, 3, …, 10) nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh

Nếu không tồn tại B_i thì:

Ta đem B_i chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư từ 1 đến 9), Theo nguyên tắc Dirichlet, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau.

Các số B_m – B_n chia hết cho 10 (m > n)

Vậy thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.

Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\overline{abcde}$

Để $\overline{abcde}$  chẵn thì e ∈ {0; 2; 4}

+ Với e = 0 thì a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn, d có 1 cách chọn

⇒ Lập được: 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (số)

+ Với e = 2 thì:

e có 1 cách chọn

a có 3 cách chọn (vì a khác 0)

b có 3 cách chọn

c có 2 cách chọn

d có 1 cách chọn

⇒ Lập được: 3 . 3 . 2 . 1 = 18 (số).

+ Với e = 4, tương tự. lập được 18 số.

Nếu dãy số chỉ gồm các chữ số có hai chữ số thì sẽ có số chữ số nhiều gấp đôi số các số. Song vì dãy số có 9 số chỉ có 1 chữ số (là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) nên nó cũng phải có 9 chữ số có 3 chữ số để bù vào đó cho đủ mức trung bình mỗi số có hai chữ số.

9 số có 3 chữ số là : 100, 101, 102, 103, …., 108.

Vậy x = 108 (dãy số là 1, 2, 3, 4,…, 108)

Đáp số: x = 108.

Vì f(x) chia x – 1 dư 4 nên x³ + mx + n = (x – 1) . a(x) + 4

Thay x = 1 vào ta có: m + n = 4 (1)

f(x) chia x + 1 dư 6 nên x³ + mx + n = (x + 1) . b(x) + 6

Thay x = – 1 vào ta có: n – m = 7 (2)

Từ (1) và (2) giải ra ta được: m = $\frac{-3}{2}$ ; n = $\frac{11}{2}$  .

Vậy m = $\frac{-3}{2}$  ; n = $\frac{11}{2}$  .

Ta có: MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN // BC

Suy ra: MN // IH hay MNIH là hình thang (1)

Xét ∆ABH vuông tại H có MH là đường trung tuyến

⇒ MH = $\frac{1}{2}AB$ (*)

Lại có: B đối xứng với C qua I nên I là trung điểm BC.

Suy ra: NI là đường trung bình của ∆ABC

⇒ NI =  $\frac{1}{2}AB$ (**)

Từ (*) và (**): MH = NI (2)

Từ (1) và (2): MNIH là hình thang cân.

Số cây đội 2 trồng được là:

1356 – 246 = 1110 (cây)

Số cây đội 3 trồng được là:

(1356 + 1110) = 882 (cây)

Trung bình số cây mỗi đội trồng được:

$\frac{1356+1110+882}{3}$= 1096 (cây).

Đáp số: 1096 cây.

Dựng $\left(O;\sqrt{3}\right)$ , P là một điểm thuộc $\left(O;\sqrt{3}\right)$

  . Dựng hình thoi OPAB có đường chéo OP, cạnh là 1.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

OI = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ AI² = AO² – OI² = 1 – ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  = $\frac{1}{4}$ .

⇒ AI = $\frac{1}{2}$ ⇒ AB = 1.

Vậy tam giác AOB đều có cạnh bằng 1.

Giả sử ngược lại, mọi cặp hai điểm có khoảng cách giữa chúng bằng 1 mà đều được tô bằng hai màu khác nhau.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử điểm O được tô bằng màu xanh, điểm A được tô màu đỏ và điểm B tô màu vàng.

Bởi vì PA = PB = 1 nên P phải được tô màu xanh.

Với cách lập luận như vậy ta suy ra, tất cả các điểm trên đường tròn  $\left(O;\sqrt{3}\right)$đều được tô cùng một màu xanh. Mặt khác dễ dàng tìm được trên $\left(O;\sqrt{3}\right)$hai điểm mà khoảng cách giữa chúng bằng 1, nên theo giả sử chúng được tô bằng hai màu khác nhau. Vô lý.
Điều vô lý đó chứng tỏ có hai điểm được tô cùng một màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.

a) Chiều rộng mảnh đất là:

24 . $\frac{2}{3}$ = 16 (m).

Diện tích mảnh đất là:

24 . 16 = 384 (m²).

b) Diện tích phần đất làm nhà là:

384 . $\frac{1}{8}$  = 48 (m²).

Gọi quãng đường lên dốc lúc đi là AC, khi đó CA là quãng đường xuống dốc lúc về.

Hiệu giữa thời gian lên dốc và xuống dốc là:

2 giờ – 1 giờ 10 phút = 50 (phút).

Tỉ số giữa vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc là:

8 : 18 = $\frac{4}{9}$

Trên cùng một quãng đường, thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc nên tỉ lệ thời gian lên dốc và thời gian xuống dốc là $\frac{9}{4}$ .

Thời gian lên dốc là:

50 : (9 – 4) × 9 = 90 (phút) = 1,5 (giờ) 

Quãng đường AC (lên dốc) là:

8 × 1,5 = 12 (km)

Thời gian đi trên đoạn nằm ngang CB là:

2 giờ – 1,5 giờ = 0,5 giờ. 

Đoạn đường nằm ngang là:

12 × 0,5 = 6 (km) 

Quãng đường AB dài:

12 + 6 = 18 (km) 

Đáp số: 18 km.

Trong giờ thứ nhất, ô tô đi được: 

120 × $\frac{1}{3}$= 40 (km).

Quãng đường còn lại:

120 – 40 = 80 (km).

Trong giờ thứ hai, ô tô đi được: 

80 × 40% = 32 (km).

Trong giờ thứ ba, ô tô đi được:

80 − 32 = 48 (km).

Đáp số: 48 km.

148 = 4 . 37 = 2² . 37.

8 số lẻ cách nhau là:

7 . 2  = 14 (đơn vị)

Hiệu của hai số chẵn là:

14 + 1+ 1 = 16 (đơn vị).

Để đơn thức A chia hết cho đơn thức B thì:

 $\left\{\begin{array}{l}n+1\ge 3\\ 2\ge n-1\end{array}\right.$ ⇔   $\left\{\begin{array}{l}n\ge 2\\ 3\ge n\end{array}\right.$⇔ 2 ≤ n ≤ 3.

Mà n ∈ ℕ nên n = 2 hoặc n = 3

Vậy với n = 2 hoặc n = 3 thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

Gọi chiều rộng là a thì chiều dài là 2a (m)

Ta có:

(2a + 5) . a = 2a . a + 130

⇔ 2a² + 5a = 2a² + 130

⇔ 5a = 130

⇔ a = 130 : 5

⇔ a = 26.

Suy ra chiều rộng hình chữ nhật là 26 m.

Chiều dài hình chữ nhật là:

26 . 2 = 52 (m).

Diện tích hình chữ nhật là:

52 . 26 = 1352 (m²).

1kg = 1000 g hay 1g = 0,001 kg

Do đó, 60g = 0,06 kg.

1 tạ = 1000000 g.

Do đó, 2,5 tạ = 2500000 g.