Tìm số \(\overline {abc} \). Biết \(\overline {abc} \) chia hết cho 45 và \(\overline {abc} - \overline {cba} = 396\) (với c ≠ 0).

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng màu;

b) Có ít nhất một quả màu trắng.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, với đường tròn (O) (A là tiếp điểm). Qua C thuộc tia Ax, vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB). Từ O vẽ OH vuông góc với đoạn thẳng DE tại H.

a) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp.

b) Chứng minh: AC.AE = AD.CE.

c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh: AM // BN.

Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x² + 2 dư 2x − 1, chia cho x² + x dư 16x − 11. Tính P(100).

Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(z.\overline z = 1\) là

Xác định hàm số bậc hai y = 2x² + bx + c biết đồ thị của nó có đỉnh I(−1; −2).

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:

a) Tứ giác ABHM nội tiếp.

b) OA.OB = OH.OM = R².

c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt d tại E và cắt đường thẳng OC tại D. Gọi F là giao điểm của BD và d. Tiếp tuyến tại B cắt ED tại K. Chứng minh BK = EF.

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AB và AE = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Chứng minh:

a) \[\Delta ABC = \Delta ADE\].

b) DE = BC và DE // BC.

c) \[\Delta AEN = \Delta ACM\].

d) M, A, N thẳng hàng.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là:

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 có hai điểm cực trị x₁, x₂ đồng thời y(x₁).y(x₂) = 0 là

Cho hàm số y = x³ – (m + 1)x² – (m² – 2m)x + 2020. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Cho hàm số y = mx³ – mx² – (m +4)x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ.

Tìm điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m.

Cho đa thức bậc 2 có dạng P(x) = ax² + bx + c biết rằng P(x) thỏa mãn 2 điều kiện sau: P(0) = −2 và 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6. Chứng minh rằng a + b + c = 0 và xác định đa thức P(x).

Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.