Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), AB = AC, điểm D thuộc cạnh AB. Đường thẳng qua B và vuông góc với CD cắt đường thẳng CA ở K.

Chứng minh rằng: AK = AD.

Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm O . Gọi M là trung điểm của BC; N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C. Đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P có phương trình: (T) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB; AC với (O) (B, C là tiếp điểm).

a) Chứng minh tam giác ABC đều.

b) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại D. Đường vuông góc với OC tại O cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi.

Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C.

Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AH là đường cao. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc AC tại F .

a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC.

b) Cho BH = 3cm, AH = 4cm. Tính AE, BE.

Thực hiện phép tính: \(A = \frac{{{3^{10}}.11 + {3^{10}}.5}}{{{3^9}{{.2}^4}}}\).

Tính:

a) (x³ + 3x² – 5x – 1)(4x – 3);

b) \(\left( { - 2{x^2} + 4x + 6} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 1} \right)\).

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AB, lấy K đối xứng với B qua H. Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI tại D.

a) Tứ giác AKHD là hình gì?

b) Chứng minhAHBD là hình chữ nhật.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

Chứng minh rằng: , AH² = AE.AB.

Tính giá trị của biểu thức: P = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰²⁰.

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D).

a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

b) Chứng minh MA² = MC.MD.

Cho tam giác DEF vuông ở E. Tia phân giác của góc D (M thuộc EF). Từ M vẽ MH vuông góc với DF (H thuộc DF).

a) Chứng minh: ∆DEM = ∆DHM.

b) Gọi K là giao điểm của tia DE và tia MH. Tam giác KMF là tam giác gì? Vì sao?

Cho hình bình hành ABCD, có AC là đường chéo lớn. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, BI vuông góc với AC tại I.

Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng n⁴ + 2n³ – n² – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

Tìm số \(\overline {ab} \) biết \(\overline {ab} \) + a + b = 95.