Ta có: A = 1 – 3 + 3² – 3³ + … + 3²⁰²¹ – 3²⁰²²

3A = 3 – 3² + 3³ – 3⁴ + … + 3²⁰²² – 3²⁰²³

⇒ 3A + A = (3 – 3² + 3³ – 3⁴ + … + 3²⁰²² – 3²⁰²³) + (1 – 3 + 3² – 3³ + … + 3²⁰²¹ – 3²⁰²²)

⇔ 4A = 1 – 3²⁰²³

\( \Leftrightarrow A = \frac{{1 - {3^{2023}}}}{4}\)

Vậy \(A = \frac{{1 - {3^{2023}}}}{4}\).

Ta có: 2P = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰²⁰ + 2²⁰²¹

⇒ 2P – P = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰²⁰ + 2²⁰²¹) – (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰²⁰)

⇔ P = 2²⁰²¹ – 1

Vậy P = 2²⁰²¹ – 1.

Ta có: x ∈ {13; 14; 15 ....; 89; 90}.

Số số hạng là: (90 – 13) + 1 = 78 (số)

Tổng của các số tự nhiên x là:

(90 + 13) . 78 : 2 = 4017

Vậy tổng của các số tự nhiên x là 4017.

Ta có: n⁴ + 2n³ – n² – 2n

= (n⁴ + 2n³) – (n² + 2n)

= n³(n + 2) – n(n + 2)

= (n³ – n)(n + 2)

= n(n² – 1)(n + 2)

= (n – 1)n(n + 1)(n + 2)

Ta thấy (n – 1)n(n + 1)(n + 2) là tích bốn số nguyên liên tiếp nên sẽ chứa một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4, từ đó suy ra tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.

Đồng thời, trong bốn số nguyên liên tiếp luôn chứa tích của ba số nguyên liên tiếp, đồng nghĩa với việc tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.

Mà 24 = 3.8

Vì vậy tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.8 = 24.

Vậy n⁴ + 2n³ – n² – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

Đáp án đúng là: D.

• Số chia hết cho 3 có dạng 3a ta có 0 < 3a ≤ 1000 ⇔ 0 < a < 333,3

Mà a nguyên nên có 333 số thỏa mãn.

• Số chia hết cho 5 có dạng 5b ta có 0 < 5b ≤ 1000 ⇔ 0 < b ≤ 200

Nên có 200 số thỏa mãn. 

• Số chia hết cho cả 3 và 5 có dạng 15c ta có 0 < 15c ≤ 1000 ⇔ 0 < c < 66,6

Nên có 66 số thỏa mãn.

Do đó số các số thỏa mãn đề bài là: 333 + 200 – 66 = 467.

Số các số chia hết cho 2 là: \(\frac{{2020 - 2}}{2} + 1 = 1010\).

Số các số chia hết cho 3 là: \(\frac{{2019 - 3}}{3} + 1 = 673\).

Số các số chia hết cho cả 2 và 3 (hay là chia hết cho 6) là:

\(\frac{{2016 - 6}}{6} + 1 = 336\).

Vậy có tất cả số là: 1010 + 673 – 336 = 1347.

Do a, b > 0 nên \(1 - \frac{1}{a} > 0\); \(1 - \frac{1}{b} > 0\)

Áp dụng BĐT:

\(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

\(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\) \( \le \frac{1}{4}{\left( {1 - \frac{1}{a} + 1 - \frac{1}{b}} \right)^2} = \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2}\)

Chứng minh BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + y}}{{xy}}} \right)\left( {x + y} \right) \ge 4\)

⇔ (x + y)² ≥ 4xy

⇔ (x – y)² ≥ 0 (luôn đúng)

Khi đó: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}} = \frac{4}{4} = 1\)

⇒ \(2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \le 2 - 1 = 1\)

\( \Rightarrow \frac{1}{4}{\left[ {2 - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right]^2} \le \frac{1}{4}.1 = \frac{1}{4}\)

Vậy \({P_{\max }} = \frac{1}{4}\) khi a = b = 2.

Không gian mẫu Ω là: \(\Omega = C_{10}^4 = 210\).

Gọi A là biến cố chọn được 4 quả cùng màu. 4 quả cùng màu có thể là 4 quả cùng màu trắng hoặc 4 quả cùng màu đen.

Ta có: \(A = C_6^4 + C_4^4 = 15 + 1 = 16\).

Vậy \(P(A) = \frac{A}{\Omega } = \frac{{16}}{{210}} = \frac{8}{{105}}\).

Không gian mẫu Ω là: \(\Omega = C_{10}^4 = 210\).

Gọi A là biến cố chọn được 4 quả có ít nhất 1 quả cầu màu trắng.

Suy ra \(\overline A \) là biến cố chọn được 4 quả không có quả nào màu trắng.

Khi đó ta có: \(\overline A = C_4^4 = 1\).

Khi đó: \(P(\overline A ) = \frac{1}{{210}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{{210}} = \frac{{209}}{{210}}\).

Vây xác suất cần tìm là \(\frac{{209}}{{210}}\).

Ta cần chứng minh BĐT phụ:

\(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\) với a, b > 0, ab ≥ 1

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ab - {a^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \frac{{ab - {b^2}}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {ab - {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) + \left( {ab - {b^2}} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\) luôn đúng với \(\forall \)a,b > 0, ab ≥ 1

Ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{4}{{1 + abc}}\)

Áp dụng ĐBT trên ta có:

\(VT = \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \frac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }}\)

\(VT \ge \frac{4}{{1 + \sqrt {\sqrt {{a^3}{b^3}.ab{c^4}} } }} = \frac{4}{{1 + abc}}\)

Vậy \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\] (đpcm).

Ta có: \(\overline {ab} \) + a + b = 95

⇔ a ´ 10 + b + a + b = 95

⇔ 11a + 2b = 95

⇔ aa + 2b = 95

Vì 95 là số lẻ , 2b là số chẵn nên aa là số lẻ.

Khi đó ta có: aa = {11; 33; 55; 77}

Để b là số có 1 chữ số thì 2b cao nhất là: 9 ´ 2 = 18

Ta có:

2b = 95 – 11 = 84 (loại)

2b = 95 – 33 = 62 (loại)

2b = 95 – 55 = 40 (loại)

2b = 95 – 77 = 18 (thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 79.

Đáp án đúng là: B

Ta có: IO//SA ⇒ IO//(SAD) và IO//(SAB) nên đáp án A và đáp án C đúng.

Ta có (SAC) ∩ (IBD) = IO nên đáp án D đúng.

Câu B ta có thiết diện là ∆IBD nên B sai.

Đáp án đúng là: A

Xét tứ giác AKCM có:

AC∩MK = {I}

Mà I là chung điểm của hai đoạn AC và MK (gt)

⇒ Tứ giác AKCM là hình bình hành  (1)

Vì ∆ABC cân tại A

⇒ AM vừa là đường trung tuyến và cũng là đường cao của ∆ABC.

\[ \Rightarrow \widehat {AMC} = 90^\circ \]      (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCM là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác AKCM có hai đường chéo AC và MK cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Suy ra tứ giác AKCM là hình bình hành       (1)

Xét ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến  nên AM cũng là đường cao của ∆ABC hay \[\widehat {AMC} = 90^\circ \]         (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCM là hình chữ nhật.

Vì AKCM là hình chữ nhật nên ta có: AK // CM hay AK // BM và AK = CM.

Mà CM = BM (do M là trung điểm của BC)

Do đó AK = BM và AK // BM.

Từ đó suy ra tứ giác AKMB là hình bình hành.

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của AC suy ra \(AM = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{2}\)

Do ∆BAM vuông tại A, áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

\(BM = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Áp dụng định lý cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos\(\widehat A\)

= 2² + 3² – 2.3.cos60° = 7

\( \Rightarrow BC = \sqrt 7 \)

Đáp án đúng là: B.

Gọi A(x; y). Khi đó:

• M là trung điểm AB nên \(M\left( {\frac{{x + 9}}{2};\frac{{7 + y}}{2}} \right)\)

• N là trung điểm của AC nên \(N\left( {\frac{{x + 11}}{2};\frac{{ - 1 + y}}{2}} \right)\)

Do đó \(MN\left( {\frac{{x + 11 - x - 9}}{2};\frac{{ - 1 + y - 7 - y}}{2}} \right)\) hay MN(1; −4).

Số 205 mà bỏ chữ số 0 thì thành số 25. Như vậy Tâm đã viết nhầm làm giảm 1 thừa số đi số đơn vị là:

205 – 25 = 180 (đơn vị)

Do đó tích giảm đi 180 lần thừa số kia, mà tích giảm đi 42120 đơn vị nên thừa số kia là :

42 120 : 180 = 234

Tích đúng là:

234 ´ 205 = 47 970

Đáp số: 47 970.

Người bán hàng lãi số tiền là:

(15 – 10) – 20 + 17 = 2 (triệu đồng)

Đáp số: 2 triệu đồng.

Cả 2 giờ vòi đó chảy được số phần bể là: 

\(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}}\) (bể)

Lượng nước còn lại chiếm số phần bể là:

\(\frac{5}{{12}} - \frac{1}{3} = \frac{1}{{12}}\) (bể)

Đáp số: \(\frac{1}{{12}}\) bể.

Điều kiện x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1

a) Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1, ta có:

 \(A = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{x^3} - x}}\)

\( = \frac{{x({x^2} + 2x + 1)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

b) Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1, ta có:

\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2\)

⇔ x + 1 = 2x – 2

⇔ x = 3 (TMĐK)

Vậy với x = 3 thì A = 2.

c) \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{(x - 1) + 2}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)

Để A nguyên thì 2 \( \vdots \) (x – 1)

⇒ (x – 1) ∈ Ư(2)

Mà Ư(2) = {1; −1; 2; −2}

⇒ x ∈ {2; 0; 3; −1}

Kết hợp với điều kiện x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có: x ∈ {2; 3}.

Ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 0\)

⇔ ab + bc + ca = 0

Mặt khác, \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = - \frac{1}{c}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^3} = - \frac{1}{{{c^3}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + 3.\frac{1}{{ab}}.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) = - \frac{1}{{{c^3}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + 3.\frac{1}{{ab}}.\left( { - \frac{1}{c}} \right) = \frac{{ - 1}}{{{c^3}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} = \frac{3}{{abc}}\)  (*)

Khi đó: \(\frac{{\left( {b + c} \right)}}{a} = \frac{{ab + ac}}{{{a^2}}} = \frac{{ - bc}}{{{a^2}}} = \frac{{ - abc}}{{{a^2}}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{{\left( {a + b} \right)}}{c} = \frac{{ - abc}}{{{c^3}}}\); \(\frac{{\left( {a + c} \right)}}{{{b^2}}} = \frac{{ - abc}}{{{b^3}}}\).

\(M = \frac{{ - abc}}{{{a^3}}} + \frac{{ - abc}}{{{b^3}}} + \frac{{ - abc}}{{{c^3}}}\)

\( = - abc\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right)\)

\( = - abc.\frac{3}{{abc}} = - 3\) (theo *)

Vậy M = −3.

Đáp án đúng là: C

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 10 cm.

Vì MN // BC, theo định lí Ta-lét, ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\)

Mà AB = AC nên AM = AN = 4 cm.

Suy ra \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ảnh của đường tròn (T) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2

Do đó, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác:

(x – 2)² + (y + 1)² = 25

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm là (x – 2)² + (y + 1)² = 25.

88 – 8 + 8 + 8 +…+8

= 88 – 8 ´ 11

= 88 – 88 = 0.

\(A = \frac{{{3^{10}}.11 + {3^{10}}.5}}{{{3^9}{{.2}^4}}} = \frac{{{3^{10}}.\left( {11 + 5} \right)}}{{{3^9}.16}} = \frac{{3.16}}{{16}} = 3\).

Vậy A = 3.

Trung bình cộng của các số trên là:

\(\frac{{3 + 5 + 9 + 10 + 13}}{5} = \frac{{40}}{5} = 8\).

Vậy trung bình cộng của các số 3; 5; 9; 10; 13 là 8.

Chọn 5 học sinh tùy ý trong 11 học sinh có số cách là: \(C_{11}^5\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 462\)

Gọi A là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ.

Khi đó \(\overline A \) là biến cố chọn ra 5 học sinh trong đó tất cả là nữ hoặc tất cả là nam.

Suy ra n(\(\overline A \)) = \(C_6^5 + C_5^5 = 6 + 1 = 7\) (Cách)

\( \Rightarrow n(A) = n\left( \Omega \right) - n\left( {\overline A } \right) = 462 - 7 = 455\) (cách)

Vậy có 455 cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nữ và nam.

a) (x³ + 3x² – 5x – 1)(4x – 3);

= 4x⁴ – 3x³ + 12x³ – 9x² – 20x² + 15x – 4x + 3

= 4x⁴ + (−3x³ + 12x³) + (−9x² – 20x²) + (15x – 4x) + 3

= 4x⁴ + 9x³ – 29x² + 11x + 3.

b) \(\left( { - 2{x^2} + 4x + 6} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 1} \right)\).

= x³ – 2x² – 2x² + 4x – 3x + 6

Ta có: A = x⁴ + 2x³ – x² – 2x

= (x⁴ – x³) + (3x³ – 3x²) + (2x² – 2x)

= x³(x – 1) + 3x²(x – 1) + 2x(x – 1)

= (x – 1)(x³ + 3x² + 2x)

= (x – 1)x(x² + x + 2x + 2)

= (x – 1)x[x(x + 1) + 2(x + 1)]

= (x – 1)x(x + 1)(x + 2).

Ta thấy \(\forall \)x ∈ ℤ thì A là tích của 4 số liên tiếp nên chắc chắc A ⋮ 2; A ⋮ 3; A ⋮ 4.

Từ đó suy ra A ⋮ (2.3.4) hay A ⋮ 24 (đpcm).

Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{6xy}} = \frac{1}{6}\)

⇔ 6x + 6y + 1 = xy

⇔ 6x + 6y + 1 – xy = 0

⇔ xy – 6x – 6y + 36 – 37 = 0

⇔ (xy – 6x) – (6y – 36) = 37

⇔ x(y – 6) – 6(y – 6) = 37

⇔ (x – 6)(y – 6) = 37

Vì x, y là số nguyên dương nên (x – 6)(y – 6) ∈ Ư(37) .

Ư(37) = {1; 37}

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 6 = 1\\y - 6 = 37\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 6 = 37\\y - 6 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 43\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\y = 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vây (x; y) ∈ {(7; 43), (43; 7)}.

Số học sinh nam chiếm số phần trăm số học sinh cả lớp là:

\(\left( {1 - \frac{2}{3}} \right) \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33,33\% \)

Đáp số: 33,33%

36 + 2xy – x² – y²

= 36 – (x² – 2xy + y²)

= 6² – (x – y)²