Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm AB, K là điểm đối xứng với H qua điểm I.
a) Tứ giác ACHI là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AHBK là hình gì ? Vì sao?
c) Nếu tam giác ABC đều thì ACHI là hình gì?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHBK là hình vuông.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét tam giác ABH vuông tại H có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền
Suy ra \(HI = \frac{1}{2}AB\)
Mà \(AI = BI = \frac{1}{2}AB\)
Do đó BI = IH
Hay tam giác IBH cân tại I
Suy ra \(\widehat {IBH} = \widehat {IHB}\)
Mà \(\widehat {IBH} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác ABC cân tại A)
Do đó \(\widehat {ACB} = \widehat {IHB}\)
Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị
Suy ra IH // AC
Do đó IHCA là hình thang
b) Xét tứ giác AHBK có
I là trung điểm của AB và HK
AB và HK là hai đường chéo
Suy ra AHBK là hình bình hành
Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)
Suy ra AHBK là hình chữ nhật
c) Nếu tam giác ABC đều thì AB = AC = BC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\)
Suy ra HIAC là hình thang cân
d) Để hình chữ nhật AHBK là hình vuông
⇔ AH = BH
\( \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}BC\)
\( \Leftrightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)
⇔ Tam giác ABC vuông cân tại A
Vậy tam giác ABC vuông cân thì AHBK là hình vuông.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.
a) Giả sử \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.
d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm và OA = 4cm.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn, với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a) Chứng minh OI // BC.
b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) và BK ⊥ CD (K ∈ CD). Chứng minh CK2 = HA . HB.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Chọn câu đúng nhất:
Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN.
a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM.
b) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\).
