Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục Oxy thì nó có đỉnh (0; 8) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là (−4; 0). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.

I. Tính diện tích hình phẳng

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|𝑑x$.

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = 5x⁴ + 3x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\begin{array}{c}S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}5}{x}^4+\mathrm{\hspace{0.17em}3}{x}^2|𝑑x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(5x^4+\mathrm{\hspace{0.17em}3}{x}^2)𝑑x={(x^5+x^3)|}_0^1=\mathrm{\hspace{0.17em}2}\end{array}$

2. Hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|𝑑x$  (*).

- Chú ý.

Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b].

Giả sử phương trình có hai nghiệm c; d (c < d). Khi đó, f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a; c]; [c; d]; [d; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên [a; c] ta có:

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|𝑑x=|\underset{a}{\overset{c}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]𝑑x|$.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0; x = 2 và các đồ thị của hai hàm số y = x – 1 và y = x² – 1.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

x – 1 = x² – 1

$\iff x-x^2=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0}\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\mathrm{\hspace{0.17em}1}\in [0;\mathrm{\hspace{0.17em}2}]\end{array}$

Diện tích hình phẳng đã cho là:

$\begin{array}{c}S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}|x-1-(x^2-1)|𝑑x=\underset{0}{\overset{2}{\int }}|x-x^2|𝑑x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|x-x^2|𝑑x+\underset{1}{\overset{2}{\int }}|x-x^2|𝑑x\end{array}$

$\begin{array}{c}=|\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x-x^2)𝑑x|+|\underset{1}{\overset{2}{\int }}(x-x^2)𝑑x|={\left|(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\right|}_0^1|+{\left|(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\right|}_1^2|\end{array}$

$=\frac{1}{6}+|\frac{-2}{3}-\frac{1}{6}|=\mathrm{\hspace{0.17em}1}$.

II. Tính thể tích

1. Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể (H) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a; x = b (a < b) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x $(a\le x\le b)$ cắt (H) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được xác định bởi công thức: $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)𝑑x.$

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt.

a) Cho khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h.

Khi đó, thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}B.h.$

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B; B’ và chiều cao là h.

Thể tích của khối chóp cụt là:

$V=\frac{h}{3}(B+\sqrt{B.B^{\text{'}}}+B^{\text{'}})$

III. Thể tích khối tròn xoay

 - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong  y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;  x = b quanh trục Ox:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)𝑑x$.

Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^4𝑑x={\pi \frac{x^5}{5}|}_0^2=\frac{32\pi }{5}.$