Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\frac{\mathrm{z}+1}{-1}$ và ${\mathrm{d}}_2:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{-2}=\frac{\mathrm{z}+3}{1}$. Tính cô sin của góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$

I. Phương trình tham số của đường thẳng

-  Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3)$  làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}$.

- Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3)$  làm vectơ chỉ phương là

                                              $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}$

Trong đó, t là tham số.

- Chú ý:

Nếu a₁ ; a₂; a₃ đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

                                        $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$.

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}(1;2;-1)$

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là: $\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}+t\\ y=2+2t\\ z=\mathrm{\hspace{0.17em}2}-t\end{array}$.

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}(2;1;-1)$ làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của AB là: $\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}t\\ y=1+t\\ z=\mathrm{\hspace{0.17em}2}-t\end{array}$.

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.

 Gọi $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3);\overrightarrow{a^{\text{'}}}=(a{}_1{}^{\text{'}};a{}_2{}^{\text{'}};a{}_3{}^{\text{'}})$ lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M(x₀; y₀; z₀) trên d.

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a^{\text{'}}}\\ M\notin d^{\text{'}}\end{array}$.

Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a^{\text{'}}}\\ M\in d^{\text{'}}\end{array}$.

Ví dụ 3.  Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

$d:\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}+2t\\ y=\mathrm{\hspace{0.17em}2}-3t\\ z=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}+t\end{array};d^{\text{'}}:\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}-4t\\ y=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}+6t\\ z=-2t\end{array}$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-3;1)$ đi qua M(3; 2; 2).

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{v}(-4;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}6};-2)$

Ta thấy: $\overrightarrow{v}=Â\mathrm{ }-2\overrightarrow{u};M\notin d^{\text{'}}$.

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

$\{\begin{array}{c}{x}_0+t{a}_1=x{}_0{}^{\text{'}}+t^{\text{'}}.a{}_1{}^{\text{'}}\\ y_0+t{a}_2=y{}_0{}^{\text{'}}+t^{\text{'}}.a{}_2{}^{\text{'}}\\ z_0+t{a}_3=z{}_0{}^{\text{'}}+t^{\text{'}}.a_3^{\text{'}}\end{array}$  (I)

Có đúng một nghiệm.

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t₀ ; t’₀), để tìm giao điểm M₀ của d và d’ ta có thể thay t₀ vào phương trình tham số của d hoặc thay t’₀ vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

$d:\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}+t\\ y=\mathrm{\hspace{0.17em}2}-t\\ z=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}+t\end{array};d^{\text{'}}:\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}-t^{\text{'}}\\ y=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}+t^{\text{'}}\\ z=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\end{array}$

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}3+t=3-t^{\text{'}}\\ 2-t=2+t^{\text{'}}\\ 2+t=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}t=\mathrm{ }-t^{\text{'}}\\ t=\mathrm{ }-t^{\text{'}}\\ t=1\end{array}\iff t=1;t^{\text{'}}=\mathrm{ }-1$

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ không cùng phương và hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}_0+t{a}_1=x{}_0{}^{\text{'}}+t^{\text{'}}.a{}_1{}^{\text{'}}\\ y_0+t{a}_2=y{}_0{}^{\text{'}}+t^{\text{'}}.a{}_2{}^{\text{'}}\\ z_0+t{a}_3=z{}_0{}^{\text{'}}+t^{\text{'}}.a_3^{\text{'}}\end{array}$vô nghiệm.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

$d:\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}+t\\ y=\mathrm{\hspace{0.17em}2}-3t\\ z=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}+t\end{array};d^{\text{'}}:\{\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}-4t^{\text{'}}\\ y=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}+6t^{\text{'}}\\ z=-2t^{\text{'}}\end{array}$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}(1;-3;1)$

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a^{\text{'}}}(-4;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}6};-2)$

Ta thấy, không tồn tại số thực k để $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=k\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}3+t=\mathrm{\hspace{0.17em}1}-4t^{\text{'}}\left(1\right)\\ 2-3t=2+\mathrm{\hspace{0.17em}6}{t}^{\text{'}}\left(2\right)\\ 2+t=-2t^{\text{'}}\left(3\right)\end{array}$   (I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:  t =2; t’ = -1.

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}$.

Xét phương trình A(x₀ + ta₁ ) + B(y₀ + ta₂ ) + C (z₀ + ta₃ ) + D = 0 ( t là ẩn )   (1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.

Vậy d// (P).

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t₀ thì d cắt (P) tại điểm

M(x₀ + t₀ a₁;y₀ + t₀ a₂; z₀ + t₀ a₃).

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).

Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-t\\ z=-2=t\end{array}\right.$và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.

Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t;  -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0

$\iff$ 2 + 4t + t + 2 – t  = 0

Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).