Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, AA'=b. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Tính theo a và b thể tích V của khối tứ diện BDA'M

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, AA'=b...

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9 và đường thẳng $∆ : \frac{x - 6}{- 3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{2}$ . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;3;4) song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

Xem đáp án » 05/03/2022 10,171

Câu 2:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 9 và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + 3 = 0. Gọi M (a; b; c) là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất. Khi đó:

Xem đáp án » 05/03/2022 9,380

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (3;0;0), B (0;6;0), C (0;0;6). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Xem đáp án » 05/03/2022 9,237

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x -1)²+ (y + 2)² + (z - 3)² = 27. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua hai điểm A (0; 0; -4), B (2; 0; 0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón đỉnh là tâm của (S) và đáy là là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết rằng (α): ax + by - z + c = 0, khi đó a - b + c bằng:

Xem đáp án » 05/03/2022 9,202

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{2}$ , mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và điểm A (1;2;-1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng (α).

Xem đáp án » 05/03/2022 8,788

Câu 6:

Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;3;-2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA = OB = OC ≠ 0.

Xem đáp án » 05/03/2022 8,424

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (1;0;-1) và cắt mặt phẳng (P): 2x+y-2z-16=0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3. Phương trình của mặt cầu (S) là:

Xem đáp án » 05/03/2022 7,113

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x + y + z - 1 = 0$ và hai điểm A (1;-3;0), B (5;-1;-2). Điểm M (a;b;c) nằm trên (P) và |MA – MB| lớn nhất. Giá trị abc bằng:

Xem đáp án » 05/03/2022 4,486

Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D', gọi M và N lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và DCC'D'. Mặt phẳng (A'MN) chia khối lập phương trình hai phần có thể tích là V₁ và V₂ (V₁ < V₂). Tính tỷ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$

Xem đáp án » 05/03/2022 4,211

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 5}{- 1}$ và mặt phẳng (P): $2 x - 3 y + z - 6 = 0$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với (d)?

Xem đáp án » 05/03/2022 4,194

Câu 11:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 5x + my + 4z + n = 0 đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 3x - 7y + z - 3 = 0 và (β): x - 9y - 2z + 5 = 0. Tính m + n.

Xem đáp án » 05/03/2022 4,010

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0;0), B (0;0;2) và mặt cầu (S): x²+y²+z²-2x-2y+1=0. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chứa hai điểm A, B và tiếp xúc với (S).

Xem đáp án » 05/03/2022 3,790

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (3;-2;4), B (5; 3;-2), C (0;4;2), đường thẳng d cách đều ba điểm A, B, C có phương trình là:

Xem đáp án » 05/03/2022 3,184

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d : \frac{x - 3}{- 4} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$ và $d^{'} : \frac{x}{- 6} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d'?

Xem đáp án » 05/03/2022 2,993

Câu 15:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A (1; 1; -1), B (2; 3; 1), C (5; 5; 1). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng (Oxy) tại M (a; b; 0). Tính 3b-a.

Xem đáp án » 05/03/2022 2,889

Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ .

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ không đồng

phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

$\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$ .

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\vec{a}$ , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) sao cho $\vec{a} = a_{1} . \vec{i} + a_{2} . \vec{j} + a_{3} . \vec{k}$ .

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước $\vec{a}$ và viết $\vec{a}$ = (a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\vec{a}$ (a₁; a₂ ; a₃).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\vec{O M}$ .

Ta có: M(x; y; z) $\Leftrightarrow \vec{O M} (x; y; z)$

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

$\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3}), k \in R$ , ta có:

a) $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})$

b) $\vec{a} - \vec{b} = (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2}; a_{3} - b_{3})$ ;

c) $k \vec{a} = (k a_{1}; k a_{2}; k a_{3})$ .

Ví dụ 1. Cho $\vec{u} (2; - 3; 4); \vec{v} (4; - 2; 0)$

a) Tính $\vec{u} + \vec{v}$ ;

b) $2 \vec{v}$ ;

c) $\vec{u} - 2 \vec{v}$ .

Lời giải:

a) $\vec{u} + \vec{v} = (2 + 4; - 3 - 2; 4 + 0) = (6; - 5; 4)$ ;

b) Ta có: $2 \vec{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\vec{u} - 2 \vec{v}$ = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , ta có:

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = b_{1} \\ a_{2} = b_{2} \\ a_{3} = b_{3} \end{matrix}$ .

b) Vecto $\vec{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\vec{b} \neq \vec{0}$ thì hai vecto $\vec{a}; \vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\vec{a} = k \vec{b} (k \in R)$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = k b_{1} \\ a_{2} = k b_{2} \\ a_{3} = k b_{3} \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}, (b_{1}, b_{2}, b_{3} \neq 0)$

d) Cho $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$

+ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Ví dụ 2. Cho $\vec{u} (2 m; 3; - 1); \vec{v} (4; 3; n - 2)$ . Tìm m và n để $\vec{u} = \vec{v}$

Lời giải:

Để $\vec{u} = \vec{v}$

Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học (ảnh 1)

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) $\vec{u} (2; 3; 7); \vec{v} (- 4; - 6; 14)$ ;

b) $\vec{a} (1; 0; 2); \vec{b} (- 3; 0; - 6)$ .

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{- 4} = \frac{3}{- 6} \neq \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\vec{b} = - 3 \vec{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\vec{A B}$ ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B}$ = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b) Tọa độ trung điểm M của AB là:

${\begin{matrix} x_{M} = \frac{- 3 + (- 1)}{2} = - 2 \\ y_{M} = \frac{4 + 0}{2} = 2 \\ z_{M} = \frac{0 + 8}{2} = 4 \end{matrix} \Rightarrow M (- 2; 2; 4)$

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ được xác định bởi công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2} + a_{3} . b_{3}$

Ví dụ 5. Cho $\vec{a} (1; - 3; 4); \vec{b} (1; 2; 1)$ . Tính $\vec{a} . \vec{b}$ ?

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b}$ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ .

Ta biết rằng: ${| \vec{a} |}^{2} = {\vec{a}}^{2}$ hay $| \vec{a} | = \sqrt{{\vec{a}}^{2}}$ . Do đó, $| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{2}^{2}}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của

vecto $\vec{A B}$ . Do đó, ta có:

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu $φ$ là góc góc giữa hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ với $\vec{a}; \vec{b} \neq \vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}}$

Từ đó, suy ra $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{matrix} A B = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} = \sqrt{5} \\ A C = \sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{21} \end{matrix}$

b) Ta có: $\vec{A B} (0; - 2; - 1); \vec{A C} (- 2; - 4; 1)$

Cosin của góc A là:

$\cos A = \cos (\vec{A B}; \vec{A C}) = \frac{0 . (- 2) + (- 2) . (- 4) + (- 1) .1}{\sqrt{5} . \sqrt{21}} = \frac{7}{\sqrt{105}}$

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} - D}$ .

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x² + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, AA'=b. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Tính theo a và b thể tích V của khối tứ diện BDA'M

A. V=a2b4

B. V=a2b6

C. V=a2b2

D. V=a2b3

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9 và đường thẳng ∆:x-6-3=y-22=z-22. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;3;4) song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A. $V = \frac{a^{2} b}{4}$

B. $V = \frac{a^{2} b}{6}$

C. $V = \frac{a^{2} b}{2}$

D. $V = \frac{a^{2} b}{3}$