200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao có đáp án (P6)
-
3623 lượt thi
-
25 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9 và đường thẳng . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;3;4) song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:
Chọn D
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
,
a²+b²+c² > 0.
Phương trình mặt phẳng (P):
Do (P) // Δ nên
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên
Thay 3a = 2 (c+b ) vào (*) ta được:
TH1: , chọn (P): (thỏa).
TH2: , chọn (P): (loại do Δ ⊂ (P))
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M (2;2; -3) và N (-4; 2; 1). Gọi Δ là đường thẳng đi qua M, nhận vecto làm vectơ chỉ phương và song song với mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0 sao cho khoảng cách từ N đến Δ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết |a|, |b| là hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó |a| + |b| + |c| bằng:
Chọn A
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M (2;2; -3) và song song với mặt phẳng (P).
Suy ra (Q):2x + y + z - 3 = 0.
Do Δ // (P) nên Δ ⊂ (Q).
d(N, Δ) đạt giá trị nhỏ nhất ó Δ đi qua N', với N' là hình chiếu của N lên (Q).
Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc (P),
Ta có N’ ∈ dN' (-4 + 2t; 2 + t; 1 + t); N’ ∈ (Q)t =
cùng phương
Do |a|, |b| nguyên tố cùng nhau nên chọn
Vậy |a| + |b| + |c| = 15.
Câu 3:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0;0), B (0;0;2) và mặt cầu (S): x²+y²+z²-2x-2y+1=0. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chứa hai điểm A, B và tiếp xúc với (S).
Chọn C
Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Ta có A (1; 0; 0) ∈ (S) => nếu tồn tại (P) thì (P) tiếp xúc với (S) tại A.
Ta thấy B (0; 0 ; 2) ∈ (P)
Nên có duy nhất một mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán.
Ghi chú: Bài toán dạng này thường thì sẽ có hai mặt phẳng thỏa mãn, nhưng với số liệu của bài này thì chỉ có một mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Câu 4:
Trong không gian Oxyz cho A (1;2;-1), B (3;1;-2), C (2;3;-3) và mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0. M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức MA²+MB²+MC² có giá trị nhỏ nhất. Xác định a+b+c.
Chọn D
Gọi G (2;2;-2) là trọng tâm tam giác ABC, khi đó
Ta có:
đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (P). Khi đó tọa độ của M (a;b;c) và vecto
cùng phương với vecto pháp tuyến n (1;-2;2) thỏa mãn hệ
Vậy
Câu 5:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A (1; 1; -1), B (2; 3; 1), C (5; 5; 1). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng (Oxy) tại M (a; b; 0). Tính 3b-a.
Chọn B
Ta có AB=3, AC=6. Gọi I (x; y; z) là điểm thuộc cạnh BC sao cho AI là phân giác trong của góc A
Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z=0.
Giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng (Oxy) là M (2; 7/3; 0)
Vậy 3b-a=5.
Câu 6:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 5x + my + 4z + n = 0 đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 3x - 7y + z - 3 = 0 và (β): x - 9y - 2z + 5 = 0. Tính m + n.
Chọn B
VTPT của (),(),(P) lần lượt là =(3; -7; 1) , =(1; -9; -2), =(5; m ; 4)
Gọi
Đường thẳng đi qua điểm
Câu 7:
Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D', gọi M và N lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và DCC'D'. Mặt phẳng (A'MN) chia khối lập phương trình hai phần có thể tích là V₁ và V₂ (V₁ < V₂). Tính tỷ số
Chọn D
Vậy thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (A'MN) là hình bình hành A'EFG.
Ta có:
Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x -1)²+ (y + 2)² + (z - 3)² = 27. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua hai điểm A (0; 0; -4), B (2; 0; 0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón đỉnh là tâm của (S) và đáy là là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết rằng (α): ax + by - z + c = 0, khi đó a - b + c bằng:
Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R= 3√3.
Vì (α): ax + by - z + c = 0 đi qua hai điểm A (0; 0; -4), B (2; 0; 0) nên c = -4 và a = 2.
Suy ra (α): 2x + by - z - 4 = 0.
Gọi H là hình chiếu của I lên ()
Đặt IH = x, với 0 < x < 3√3 ta có
Thể tích khối nón là
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;-1;-6) và hai đường thẳng
. Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:
Chọn A
Vì A thuộc
nên A (1+2t;1-t;-1+t).
Vì B thuộc
nên B (-2+3t';-1+t';2+2t').
Thay vào (3) ta được t=1, t'=2 thỏa mãn.
Khi đó A(3; 0; 0) và B(4; 1; 6)
Vậy AB =
Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và điểm M(4;2;1). Khi đó điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P) là:
Chọn A
Phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với (P) là
Gọi H = d ∩ (P)H (0; 1; -1).
M' đối xứng với M qua (P) nên H là trung điểm MM' M’ (-4; 0; -3)
Câu 12:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (3;-2;4), B (5; 3;-2), C (0;4;2), đường thẳng d cách đều ba điểm A, B, C có phương trình là:
Chọn B
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
và (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Mặt phẳng (P) đi qua I và nhận
làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:
Gọi J là trung điểm của AC suy ra
và (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AC
Mặt phẳng (Q) đi qua J và nhận
làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:
Khi đó d = (P) ∩ (Q)
Ta có d có vectơ chỉ phương
và đi qua M là nghiệm của hệ
,
ta chọn x = 4 suy ra y = 2 và . Vậy
Phương trình tham số của d là:
Câu 14:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): và hai điểm A (1;-3;0), B (5;-1;-2). Điểm M (a;b;c) nằm trên (P) và |MA – MB| lớn nhất. Giá trị abc bằng:
Thay tọa độ điểm A và B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) ta có:
và
Nên suy ra A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).
Gọi
là điểm đối xứng với B qua (P). Ta có:
|MA – MB| = |MA – MB’| ≤ AB’.
Do đó |MA – MB| lớn nhất là bằng AB' khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng (P).
Ta có
nên đường thẳng AB' có véc-tơ chỉ phương
.
Phương trình đường thẳng AB' là
Tọa độ điểm M là nghiệm hệ
Như vậy
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt cầu (S): x²+y²+z²+2x-6y+4z-15=0. Mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với (S) và cắt trục Oz tại điểm có cao độ lớn hơn 3 có phương trình là:
Chọn D
Mặt cầu (S) có tâm I (-1;3;-2) và bán kính R = √29.
Mặt phẳng (P) chứa d có dạng m (4x-5y-10)+n (y-8z+10)=0
ó 4mx + (n – 5m)y – 8nz + 10n – 10m = 0 với m²+n²>0.
(P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P)) = R
Trường hợp 1: m = -n, phương trình mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - 10 = 0.
Khi đó giao điểm của (P) và Oz có tọa độ là (0; 0; ) (loại vì )
Trường hợp 2: m = -3n, phương trình mặt phẳng (P): 3x - 4y + 2z - 10 = 0.
Khi đó giao điểm của (P) và Oz có tọa độ là (0; 0; 5) (nhận vì 5 > 3).
Câu 17:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình là.Đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với đường thẳng có phương trình là:
Chọn B
Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d₁ và d₂
Khi đó (P) đi qua M (0;-1;0) và có cặp véctơ chỉ phương
Gọi là VTPT của (P). Khi đó
Phương trình (P):
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d₂ và (P):
Đường thẳng d đi qua H và có VTCP
có phương trình:
Câu 18:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng , mặt phẳng (α): và điểm . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng (α).
Chọn C
Gọi giao điểm của Δ và d là B nên ta có: B (3+t;3+3t;2t)
Vì đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (α) nên:
Phương trình đường thẳng Δ đi qua A và nhận
Câu 19:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau và . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d'?
Vậy phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d' là
Câu 20:
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (3;0;0), B (0;6;0), C (0;0;6). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Chọn B
Ta có H (a;b;c) là trực tâm tam giác ABC nên ta có
Đường thẳng đi qua trực tâm H (2;1;1) của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có vecto chỉ phương
có phương trình là
Câu 21:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25 và hai điểm A (3;-2;6), B (0;1;0). Mặt phẳng (P): ax + by + cz - 2 = 0 chứa đường thẳng AB và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức M = 2a + b - c.
Chọn C
* Ta có: VTPT của mặt phẳng (P) là trong đó a;b;c không đồng thời bằng 0. Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R=5.
Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB nên ta có:
* Bán kính đường tròn giao tuyến là
trong đó
Để bán kính đường tròn nhỏ nhất điều kiện là d lớn nhất
lớn nhất
lớn nhất.
Coi hàm số
là một phương trình ẩn c ta được
5mc²-2 (4m+1)c+ (8m-3)=0,
phương trình có nghiệm c
lớn nhất
Câu 22:
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 9 và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + 3 = 0. Gọi M (a; b; c) là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất. Khi đó:
Mặt (S) cầu có tâm I (1;2;3), R=3.
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
Gọi M (a;b;c) là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất.
Khi M thuộc đường thẳng Δ đi qua I và vuông góc với (P)
Vậy M (3;0;4). Khi đó a + b + c = 7.
Câu 23:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (-2;-2;1), A (1;2;-3) và đường thẳng .Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất.
Chọn A
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên Δ, ta có d (A; Δ) = AH.
Mặt khác, vì M ∈ Δ nên AH ≤ AM. Do đó,
Khi đó, đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d và vuông góc với đường thẳng AM nên có véctơ chỉ phương là
Câu 24:
Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;3;-2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA = OB = OC ≠ 0.
Chọn D
Gọi A (a;0;0), B (0;b;0); C (0;0;c). Ta có OA = |a|; |OB| = b; |OC| = |c|.
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là
Theo giả thiết ta có điểm
Vì |a| = |b| = |c| nên ta có hệ phương trình
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn.
Câu 25:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với (d)?
Chọn A
Phương trình tham số của
Gọi M = d ∩ (P) nên 2(2 + 3t) -3(-1 + t) -5 - t - 6 = 0 t = 2M (8 ; 1 ; -7)
VTCP của Δ là
Δ đi qua M có VTCP có tọa độ là (2; 5; 11) nên có phương trình: