Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều và $A'A = A'B = A'C.$ Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc ${60^0}$ và khoảng cách giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Cho khối chóp $S.ABC,$ đáy $ABC$ là tam giác có $AB = AC = a,\widehat {BAC} = {60^0},\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0},$ góc giữa $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ bằng ${60^0}.$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

Cho hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn: ${f^3}\left( {2 - x} \right) - 2{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}g\left( x \right) + 36x = 0,\forall x \in \mathbb{R}.$ Tính $A = 3f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right).$

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $f\left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right) = m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ là?

Cho phương trình:

${2^{ - \left| {\left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1} \right|}}.{\log _{81}}\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) + {2^{ - \left| {\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1} \right| - 2}}.{\log _3}\left( {\frac{1}{{\left| {\left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1} \right| + 2}}} \right) = 0$

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập $S.$

Giá trị của tổng $S = C_3^3 + C_4^3 + ... + C_{100}^3$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Số đo góc giữa $\left( {BA'C} \right)$ và $\left( {DA'C} \right).$

Cho hàm số $y = - {x^4} + 2{x^2}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm tất cả các giá trị $m$ để phương trình $- {x^4} + 2{x^2} = {\log _2}m$ có bốn nghiệm thực phân biệt

Cho tập $X = \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}$. Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ $X.$ Lấy ngẫu nhiên một số từ $A.$ Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222.

Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn ${4^a} = {25^b} = {10^c}.$ Tính giá trị biểu thức $A = \frac{c}{a} + \frac{c}{b}.$

Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng $30\pi c{m^2}.$ Tính thể tích $V$ của khối nón đó.

Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được $3200c{m^3}$, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1$ là $\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right].$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ

Hàm số $y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x$ nghịch biến trên khoảng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$, biết đồ thị của $f'\left( x \right)$ như hình vẽ

Tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt lần lượt có hoành độ $a,b.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: