Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác vuông tại $A,AC=a,\widehat{ACB}={60}^0.$ Đường chéo $BC\text{'}$ của mặt bên $\left(BCC\text{'}B\text{'}\right)$ tạo với mặt phẳng $ACC\text{'}A\text{'}$ một góc bằng ${30}^0$. Tính thể tích khối lăng trụ theo $a.$

Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích? 

Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có An và Bình, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để An và Bình đứng cạnh nhau là 

Biết $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{x^2-3x+2}{x^2-x+1}dx=a\ln 7+b\ln 3+c\ln 2+d$(với $a,b,c,d$là các số nguyên). Tính giá trị của biểu thức $T=a+2b^2+3c^3+4d^4.$

Hàm số $f\left(x\right)=\cos \left(4x+7\right)$ có một nguyên hàm là

Cho bất phương trình ${\log }_{3a}11+{\log }_{\frac{1}{7}}\left(\sqrt{x^2+3ax+10}+4\right).{\log }_{3a}\left(x^2+3ax+12\right)\ge 0.$ Giá trị thực của tham số $a$ để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Bất phương trình $9^x-2\left(x+5\right)3^x+9\left(2x+1\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $S=\left[a;b\right]\cup \left[c;+\infty \right).$ Tính tổng $a+b+c$

Trong không gian $Oxyz,$ mặt  phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(-1;2;0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(-1;0;2\right)$ làm một véc tơ pháp tuyến có phương trình là 

Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AB=a,\widehat{ACB}={30}^0$ và $SA=SB=SD$ với $D$ là trung điểm $BC.$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $\frac{3a}{4}.$Tính cos góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBC\right)$. 

Trong không gian $Oxyz,$ một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục $Oy$ có tọa độ là

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left(1;2;-4\right)$ trên mặt phẳng $Oxy$ là điểm có tọa độ?

Mô-đun của số phức $z=\left(1+2i\right)\left(2-i\right)$ là 

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left(2;0;-1\right)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(4;-6;2\right).$ Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là 

Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ xác định phương trình mặt cầu có tâm $I\left(3;-1;2\right)$ và tiếp xúc mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-2z=0.$