Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B, C, D là 4 điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={\left|x\right|}^3-6x^2+9\left|x\right|-3$ với hoành độ đều khác 0. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đi qua 4 điểm A, B, C, D bằng

Đáp án đúng là: C

+ Với x > 0 $\Rightarrow$ y = x³ - 6x² + 9x - 3

$\iff$ (3x² - 9x) - (3x - 9) = 0

$\iff$ 3x.(x - 3) - 3(x - 3) = 0

$\iff$3(x - 1).(x - 3) = 0

$\Rightarrow [\begin{array}{c}x-1=0\\ x-3=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}$ 

Suy ra x_A = 1 thì tọa độ điểm A là (1; 1)

x_B = 3 thì tọa độ điểm B là (3; -3)

+ Với x < 0 $\Rightarrow$ y = - x³ - 6x² - 9x - 3

$\iff$ (- 3x² - 9x) - (3x + 9) = 0

$\iff$-3x.(x + 3) - 3(x + 3) = 0

$\iff$ -3(x + 1).(x + 3) = 0

$\Rightarrow [\begin{array}{c}x+1=0\\ x+3=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=-3\end{array}$ 

Suy ra x_C = -1 thì tọa độ điểm C là (-1; 1)

x_D = 3 thì tọa độ điểm D là (-3; -3)

d là trục đối xứng của hình thang cân ABDC nên với mọi điểm nằm trên d luôn cách đều hai điểm A, C và hai điểm B, D (*)

Suy ra d là đường trung trực của hai đoạn thẳng AC và BD, cắt AC tại M

M là trung điểm của AC nên ta có tọa độ điểm M là M(x_M; y_M) với

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1-1}{2}=0\\ y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+1}{2}=1\end{array}\right.$ Þ M(0; 1)

Kẻ đường thẳng s là đường trung trực của đoạn thẳng CD, cắt CD và d lần lượt tại N và I

Suy ra với mọi điểm trên s thì cách đều hai điểm C và D (**)

N là trung điểm của CD nên tương tự ta có tọa độ điểm N là N(-2; -1)

Từ (*) và (**) suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang cân ABDC

Đường thẳng d đi qua M(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{CA}=(2;0)$ có phương trình (d): 2x = 0

$\Rightarrow$ I(0; y_I)

Đường thẳng s đi qua N(-2; -1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{DC}=(2;4)$ có phương trình

2(x + 2) + 4(y+1) = 0

$\iff$2x + 4 + 4y + 4 = 0

$\iff$2x + 4y + 8 = 0

$\iff$ x + 2y + 4 = 0

Từ đây suy ra x_I + 2y_I + 4 = 0 Û y_I = -2

Suy ra tọa độ điểm I là I(0; -2)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp ABDC là

$IA=\sqrt{{(x_A-x_I)}^2+{(y_A-y_I)}^2}$ 

$=\sqrt{1^2+{(1+1)}^2}=\sqrt{5}$