Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,08%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm này thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn) ?

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{lim}\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý:  Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số $y={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}$ có đạo hàm là:

$y^{\text{'}}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}.{(-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10)}^{\text{'}}.\ln 2={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}.(-2x+2)\ln 2$

3. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

 Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

 II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và ${({\log }_{a}x)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: ${(\ln x)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$.

– Chú ý:

 Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: ${({\log }_{a}u)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$                                                                                                 

– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

${({\log }_4(x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}x-7))}^{\text{'}}=\frac{{(x^2+2x-7)}^{\text{'}}}{(x^2+2x-7)\ln 4}=\frac{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}{(x^2+2x-7)\ln 4}$.

3. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0;  a ≠ 1 ).

 Nhận xét:

 Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.