Tính tích phân $I = {\int }_1^e\frac{{\ln }^{2}x}{x}dx$

Cho tích phân ${\int }_2^3\frac{1}{x^3+x^2}dx = a\ln 3 + b\ln 2 +c$ với $a,b,c \in \mathrm{\mathbb{Q}}$. Tính tổng $S = a+b+c$

Cho tam giác đều ABC có diện tích là $\sqrt{3}$ quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

Cắt một vật thể (T) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a; x=b. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt (T) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Thể tích V của phần vật thể (T) giới hạn bởi mặt phẳng (P) và (Q) được cho bởi công thức nào dưới đây?

Tính đạo hàm của hàm số $F\left(x\right) = {\int }_0^x\cos \sqrt{t}dt$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn f(2)=0 ${\int }_1^2{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx = \frac{1}{45}$ và ${\int }_1^2\left(x-1\right)f\left(x\right)dx = -\frac{1}{30}$ tính $I = {\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$

Tính nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}$ bằng cách đặt $t = \sqrt{x^2+4}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx = 1$ ${\int }_{-2}^{4}f\left(t\right)dt = -4$. Tính  $I = {\int }_2^{4}f\left(y\right)dy$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong có phương trình $y = \left|x^2-4x+3\right|$ và đường thẳng $y = x+3$ (phần đô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng

Với giá trị nào của a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi(C) $y = \frac{x^2-2x}{x-1}$, đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x=a; x=2a (a>1) bằng ln3?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, thỏa mãn f(x)>0 và f'(x) + 2f(x) = 0. Tính f(-1), biết rằng f(1) = 1

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{10x^3-7x+2}{\sqrt{2x-1}}$ thỏa mãn F(1) = 5. Giả sử rằng $F\left(3\right) = a + b\sqrt{5}$, trong đó a,b là các số nguyên. Tính tổng bình phương của a và b

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2f(x) = cosx. Tính tích phân $I = {\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Cho ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx = 5$; ${\int }_0^{2}f\left(t\right)dt = 2$; ${\int }_2^{3}g\left(x\right)dx = 11$. Tính $I = {\int }_2^3\left[2f\left(x\right) + 6g\left(x\right)\right]dx$.