Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{3 + {2^x}}} + \frac{1}{{3 + {2^{ - x}}}}\]. Trong các khẳng định, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1) \[f\prime (x) \ne 0,\forall x \in R\]
2) \[f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) = 2017\]
3) \[f({x^2}) = \frac{1}{{3 + {4^x}}} + \frac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\]
A.0
B.1
C.2
D.3
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[f'\left( x \right) = \frac{{ - {2^x}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^x}} \right)}^2}}} + \frac{{{2^{ - x}}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\] nên khẳng định (1) sai.
\[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{\left( {3 + {2^x}} \right)\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}} = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}}\]
Đặt \[t = {2^x} + {2^{ - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{ - x}}} = 2\] thì\[\frac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{3^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}} = \frac{{t + 6}}{{3t + 10}}\]
Xét\[g\left( t \right) = \frac{{t + 6}}{{3t + 10}},g'\left( t \right) = - \frac{8}{{{{\left( {3t + 10} \right)}^2}}} < 0\] nên hàm số nghịch biến trên\[\left[ {2; + \infty } \right)\]
\[ \Rightarrow g\left( t \right) \le g\left( 2 \right) = \frac{{2 + 6}}{{3.2 + 10}} = \frac{1}{2} < 1\] hay\[f\left( x \right) < 1,\forall x\]
Suy ra\[f\left( 1 \right) < 1,f\left( 2 \right) < 1,...,f\left( {2017} \right) < 1\]
\[ \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) < 2017\] nên (2) sai.
\[f\left( {{x^2}} \right) = \frac{1}{{3 + {2^{{x^2}}}}} + \frac{1}{{3 + {2^{ - {x^2}}}}} \ne \frac{1}{{3 + {4^x}}} + \frac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\] (chẳng hạn x=1) nên (3) sai.
Do đó không có khẳng định nào đúng.
Đáp án cần chọn là: A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{x}\], chọn mệnh đề đúng:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?
Cho các đồ thị hàm số \[y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}(0 < a,b,c \ne 1)\] chọn khẳng định đúng:
Cho hai hàm số \[y = {a^x},y = {b^x}\] với \[1 \ne a,b > 0\;\]lần lượt có đồ thị là (C1),(C2) như hình bên. Mệnh đề nào đúng?
