Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \[AC = a.\] Biết tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy; góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt đáy bằng \(60^\circ .\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\) bằng
\(\frac{{a\sqrt {609} }}{{19}}\).
B.\(\frac{{a\sqrt {609} }}{{29}}\).
C.\(\frac{{a\sqrt {600} }}{{29}}\).
D.\(\frac{{a\sqrt {906} }}{{29}}\).
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB.\) Theo giả thiết ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Vì \(AC = a\) nên tam giác \(ABC\) đều.
Theo giả thiết \(\left( {SD,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SDH} = 60^\circ .\)
Ta có \(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
Khi đó \(d\left( {AD,\,\,SC} \right) = d\left( {AD,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\,\left( {SBC} \right)} \right).\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM \bot BC.\)
Vẽ \(HN \bot BC\) (1) \(\left( {N \in BC} \right),\) \(HK \bot SN\) (2) \(\left( {K \in SN} \right).\)
\(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BC\) (3).
(1), (3) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BC \bot HK\) (4).
(2), (4) \( \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right).\)
Khi đó \(d\left( {H,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = HK.\)
\(HN = \frac{1}{2}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
\(H{D^2} = A{H^2} + A{D^2} - 2.AH.AD.\cos \widehat {HAD} = \frac{{7{a^2}}}{4} \Rightarrow HD = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}.\)
\(\tan \widehat {SDH} = \frac{{SH}}{{HD}} \Leftrightarrow SH = HD.\tan \widehat {SDH} = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}.\)
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}} = \frac{{116}}{{21{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt {609} }}{{58}}a.\)
Vậy \(d\left( {AD,\,\,SC} \right) = 2.\frac{{\sqrt {609} }}{{58}}a = \frac{{\sqrt {609} a}}{{29}}.\)
Chọn đáp án B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12z + 41 = 0\). Từ điểm \(M\left( {2;\, - 1;\,3} \right)\) kẻ ba tiếp tuyến phân biệt \(MA,\,MB,\,MC\) đến mặt cầu (\(A,\,B,\,C\) là các tiếp điểm). Khi đó phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có dạng \[x + by + cz + d = 0\]. Giá trị \[b + c + d\] bằng
Bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Áo cỡ 40 có 6 màu khác nhau, áo cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn?
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(a,\,\,b\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({a^2} + {b^2} >1\) và \({a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{{b^2}\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right) + 4{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)\)?
Thể tích của khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh 2 và chiều cao 3 bằng
Cho hàm số \(y = \left| {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 5}} - m} \right|\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( { - 3\,;5} \right)\backslash \left\{ {0\,;2} \right\}\) là một số dương?
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu tiên \({u_1} = 2\) và công bội \(q = - 3\). Số số hạng thứ 4 của cấp số nhân bằng
Cho số phức \(z = 2 + mi\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\)thỏa \(\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right)\) là số thực. Giá trị \(\left| {2z - 3} \right|\) bằng
Cho mặt cầu có diện tích là \(16\pi {a^2}\). Thể tích của khối cầu đã cho bằng
Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] đáy là tam giác vuông cân tại \[A\]. Hình chiếu của \[A'\] lên mặt phẳng \[(ABC)\] là trung điểm \[H\] của đoạn \[AB\], khoảng cách giữa \[A'H\] và \[BC'\] bằng \[\frac{{4\sqrt 5 }}{5}\] và \[AA' = 3\]. Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] bằng
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {4 - {x^2}} \right) + {2^{1 - 2x}}\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)là hàm bậc 4 có đồ thị \[\left( C \right)\] và \[d\] là tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right)\] tại 2 điểm như hình vẽ.
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right)\] và đường thẳng \[d\] là \(\frac{{11}}{3}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng:
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1\,;\,2;\, - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - 2z + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
