Cho hàm số \[f(x) = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\], biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) + 3}}{x} = 5\] và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \[x = 1\] có hệ số góc \[k = \frac{5}{4}\]. Khi đó giá trị của \[a + b + c\] bằng
A. \[0\].
B. \[1\].
C. \[2\].
D. \[ - 1\].
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có \[f'(x) = \frac{{ac - b}}{{{{(x + c)}^2}}}.\]
Theo bài ra ta có
\[*\,k = f'(1) \Leftrightarrow \frac{5}{4} = \frac{{ac - b}}{{{{(1 + c)}^2}}}\,\,\,(1).\]
\[*\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) + 3}}{x} = 5 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(a + 3)x + b + 3c}}{{(x + c)x}} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 3c = 0\\\frac{{a + 3}}{c} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3c\\a = 5c - 3.\end{array} \right.\]
Thế vào (1) ta được:
\[\frac{{(5c - 3).c + 3c}}{{{{(1 + c)}^2}}} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow 20{c^2} = 5({c^2} + 2c + 1) \Leftrightarrow 15{c^2} - 10c - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c = - \frac{1}{3}.\end{array} \right.\]
* Với \[c = 1 \to b = - 3;\,a = 2 \to a + b + c = 0.\]
* Với \[c = - \frac{1}{3} \to b = 1;\,a = - \frac{{14}}{3} \to a + b + c = - 4.\]
Chọn đáp án A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12z + 41 = 0\). Từ điểm \(M\left( {2;\, - 1;\,3} \right)\) kẻ ba tiếp tuyến phân biệt \(MA,\,MB,\,MC\) đến mặt cầu (\(A,\,B,\,C\) là các tiếp điểm). Khi đó phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có dạng \[x + by + cz + d = 0\]. Giá trị \[b + c + d\] bằng
Bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Áo cỡ 40 có 6 màu khác nhau, áo cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn?
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(a,\,\,b\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({a^2} + {b^2} >1\) và \({a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{{b^2}\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right) + 4{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)\)?
Thể tích của khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh 2 và chiều cao 3 bằng
Cho hàm số \(y = \left| {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 5}} - m} \right|\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( { - 3\,;5} \right)\backslash \left\{ {0\,;2} \right\}\) là một số dương?
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu tiên \({u_1} = 2\) và công bội \(q = - 3\). Số số hạng thứ 4 của cấp số nhân bằng
Cho số phức \(z = 2 + mi\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\)thỏa \(\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right)\) là số thực. Giá trị \(\left| {2z - 3} \right|\) bằng
Cho mặt cầu có diện tích là \(16\pi {a^2}\). Thể tích của khối cầu đã cho bằng
Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] đáy là tam giác vuông cân tại \[A\]. Hình chiếu của \[A'\] lên mặt phẳng \[(ABC)\] là trung điểm \[H\] của đoạn \[AB\], khoảng cách giữa \[A'H\] và \[BC'\] bằng \[\frac{{4\sqrt 5 }}{5}\] và \[AA' = 3\]. Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] bằng
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1\,;\,2;\, - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - 2z + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)là hàm bậc 4 có đồ thị \[\left( C \right)\] và \[d\] là tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right)\] tại 2 điểm như hình vẽ.
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right)\] và đường thẳng \[d\] là \(\frac{{11}}{3}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {4 - {x^2}} \right) + {2^{1 - 2x}}\) là
