Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - 3{x^2} + 6x + m{\rm{ khi }}x < 1\\\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}{\rm{ khi }}x \ge 1\end{array} \right.\) (Với\(m\) là hằng số). Biết \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^x}f\left( {{e^x}} \right){\rm{d}}x} = a + b\ln 4 + c\ln 3\) với \(a,\,\,b,\,c\) là các số nguyên. Tổng \(a + 2b + 3c\) bằng
A.\(32.\)
B.\(4.\)
C.\(28.\)
D. \[16.\]
Giải bởi Vietjack
Lời giải
+ Với mọi \(x\not = 1\) hàm số \(f(x)\) liên tục, do đó \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1)\)\( \Leftrightarrow 3 + m = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)
Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^x}f\left( {{e^x}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right){\rm{d}}\left( {\ln x} \right)} + \int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^x}} \right){\rm{d}}\left( {{e^x}} \right)} \)
\( = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 3{x^2} + 6x - 2} \right){\rm{d}}x} + 2\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = {I_1} + 2{I_2}\)
+ Với \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 3{x^2} + 6x - 2} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = - 6\)
+ Với \[{I_2} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {\left( {2 - \frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {2x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_1^2 = 2 - 3\ln 4 + 3\ln 3\]
Do đó \(I = - 2 - 6\ln 4 + 6\ln 3 = a + b\ln 4 + c\ln 3\) suy ra \(a = - 2,{\rm{ }}b = - 6,{\rm{ }}c = 6\)
Vậy \(a + 2b + 3c = - 2 + ( - 12) + 18 = 4.\)
Chọn đáp án B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12z + 41 = 0\). Từ điểm \(M\left( {2;\, - 1;\,3} \right)\) kẻ ba tiếp tuyến phân biệt \(MA,\,MB,\,MC\) đến mặt cầu (\(A,\,B,\,C\) là các tiếp điểm). Khi đó phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có dạng \[x + by + cz + d = 0\]. Giá trị \[b + c + d\] bằng
Bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Áo cỡ 40 có 6 màu khác nhau, áo cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn?
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(a,\,\,b\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({a^2} + {b^2} >1\) và \({a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{{b^2}\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right) + 4{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)\)?
Thể tích của khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh 2 và chiều cao 3 bằng
Cho hàm số \(y = \left| {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 5}} - m} \right|\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( { - 3\,;5} \right)\backslash \left\{ {0\,;2} \right\}\) là một số dương?
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu tiên \({u_1} = 2\) và công bội \(q = - 3\). Số số hạng thứ 4 của cấp số nhân bằng
Cho số phức \(z = 2 + mi\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\)thỏa \(\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right)\) là số thực. Giá trị \(\left| {2z - 3} \right|\) bằng
Cho mặt cầu có diện tích là \(16\pi {a^2}\). Thể tích của khối cầu đã cho bằng
Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] đáy là tam giác vuông cân tại \[A\]. Hình chiếu của \[A'\] lên mặt phẳng \[(ABC)\] là trung điểm \[H\] của đoạn \[AB\], khoảng cách giữa \[A'H\] và \[BC'\] bằng \[\frac{{4\sqrt 5 }}{5}\] và \[AA' = 3\]. Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)là hàm bậc 4 có đồ thị \[\left( C \right)\] và \[d\] là tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right)\] tại 2 điểm như hình vẽ.
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right)\] và đường thẳng \[d\] là \(\frac{{11}}{3}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {4 - {x^2}} \right) + {2^{1 - 2x}}\) là
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1\,;\,2;\, - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - 2z + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
