Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \[{\log _3}{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = x + 2y\] là:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D
Ta có \[\begin{array}{l}{\log _3}{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) + {{\log }_3}\left( {y + 1} \right)} \right] + \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 9\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) + {{\log }_3}\left( {y + 1} \right) + x - 1} \right] = 9\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x - 1 = \frac{9}{{y + 1}} - {\log _3}\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x + 1 - 2 = \frac{9}{{y + 1}} - 2 + {\log _3}\frac{9}{{y + 1}}\end{array}\]
Xét hàm số \[f\left( t \right) = {\log _3}t + t - 2\], với \[t > 0\] có \[f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\] với mọi \[t > 0\].
Nên hàm số \[f\left( t \right)\] luôn đồng biến liên tục trên \[\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 = \frac{9}{{y + 1}}\].
\[ \Rightarrow x = \frac{9}{{y + 1}} - 1 = \frac{{8 - y}}{{y + 1}}\], do \[x > 0 \Rightarrow y \in \left( {0;8} \right)\].
Do đó
Dấu “=” xảy ra
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hai số phức \[{z_1} = 3 + 2i,{z_2} = 1 - i\]. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức \[\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\] có tọa độ là:
Cho hàm số \[y = \frac{1}{3}m{x^3} - m{x^2} + 3x + 1\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AB. Thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng:
Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = {x^4} - 2{x^2} + 5\] trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] bằng:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\] trên đoạn \[\left[ {1;2} \right]\] bằng 2. Số phần tử của S là:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x}\sqrt {{e^x} + 1} \].
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[M\left( {1;2; - 3} \right)\] trên trục Oz có tọa độ là
Cho hàm số bậc bốn \[y = f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 7\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \[y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng xét dấu của \[f'\left( x \right)\] như sau:
Bất phương trình \[f\left( x \right) < {e^{{x^2}}} + m\] đúng với mọi \[x \in \left( { - 1;0} \right)\] khi và chỉ khi
Có bao nhiêu số nguyên m lớn hơn \[ - 10\] để hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + m{x^2} + 3x + 5m - 1\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\]?
Cho khối chóp tứ giác S.ABCD. Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB, SAC, SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\].
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
