Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 14)
-
5065 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z + 3 = 0\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?
Đáp án D
Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm có tọa độ \[\left( {1;2;0} \right)\] vì \[1 - 2.2 + 0 + 3 = 0\].
Câu 2:
Số phức \[z = 6 + 8i\] có môđun bằng:
Đáp án C
Số phức \[z = 6 + 8i\] có môđun bằng
Câu 3:
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại:
Đáp án A
Hàm số \[f\left( x \right)\] đạt cực tiểu tại \[x = 1\].
Câu 4:
Với a là số thực dương tùy ý, bằng
Đáp án B
Ta có \[{\log _2}\frac{8}{a} = {\log _2}8 - {\log _2}a = 3 - {\log _2}a\].
Câu 6:
Cho hình nón \[\left( N \right)\] có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh bằng 5. Tính diện tích toàn phần \[{S_{tp}}\] của hình nón \[\left( N \right)\].
Đáp án B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\\r = 3;l = 5\end{array} \right. \Rightarrow {S_{tp}} = 24\pi \].
Câu 7:
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án A
Hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( { - 1;1} \right)\].
Câu 8:
Cho a và b là hai số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn \[{a^2} + 16{b^2} = 8ab\]. Tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{{{\log }_{14}}a + {{\log }_{14}}b}}{{{{\log }_{14}}\frac{a}{2}}}\].
Đáp án D
Ta có \[{a^2} + 16{b^2} = 8ab \Leftrightarrow {\left( {a - 4b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 4b\]
\[ \Rightarrow P = \frac{{{{\log }_{14}}a + {{\log }_{14}}b}}{{{{\log }_{14}}\frac{a}{2}}} = \frac{{{{\log }_{14}}\left( {ab} \right)}}{{{{\log }_{14}}\frac{a}{2}}} = {\log _{\frac{a}{2}}}\left( {ab} \right) = {\log _{2b}}\left( {4{b^2}} \right) = {\log _{2b}}{\left( {2b} \right)^2} = 2\].
Câu 9:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 6x + \cos x\] là
Đáp án A
Ta có .
Câu 10:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?
Đáp án C
Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ \[\left( {2;1; - 3} \right)\].
Câu 11:
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD với \[AB = 3,\widehat {BAC} = 30^\circ \]. Tính thể tích của khối trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB.
Đáp án C
Ta có .
\[ \Rightarrow V = \pi {r^2}h = \pi .B{C^2}.AB = 9\pi \].
Câu 12:
Kí hiệu \[{z_1},{z_2}\] là hai nghiệm phức của phương trình \[{z^2} + z + 2 = 0\]. Giá trị của \[z_1^3 + z_2^3\] bằng:
Đáp án A
Ta có .
Câu 13:
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = 2,d = 3\]. Tổng 10 số hạng đầu tiên bằng
Đáp án D
Ta có \[{S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right) = 5\left( {{u_1} + {u_1} + 9d} \right) = 155\].
Câu 14:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như hình cong trong hình vẽ?
Đáp án B
Ta có \[y\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow \] Loại A và D. Mà \[y\left( { - 2} \right) = 0 \Rightarrow \] Chọn B.
Câu 16:
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[f\left( x \right) + 7 = 0\] có số nghiệm thực là:
Đáp án B
Đường thẳng y = - 7 cắt đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại đúng 2 điểm phân biệt.
Câu 17:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 3z - 1 = 0\] và hai điểm \[A\left( {2; - 1;1} \right),B\left( { - 2;1;1} \right)\]. Kí hiệu \[{d_1}\] và \[{d_2}\] lần lượt là khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{{d_1}}}{{{d_2}}}\].
Đáp án A
Ta có \[{d_1} = \frac{{\left| {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {14} }}\] và \[{d_1} = \frac{{\left| { - 2 - 2.1 + 3.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}\].
\[\frac{{{d_1}}}{{{d_2}}} = \frac{6}{{\sqrt {14} }}:\frac{2}{{\sqrt {14} }} = 3\].
Câu 18:
Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 8 cuốn sách Vật Lý khác nhau và 6 cuốn sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ba cuốn sách khác nhau?
Đáp án B
Quy tắc nhân, ta có \[10.8.6 = 480\] cuốn sách khác nhau.
Câu 19:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \[SA = AB = a\]. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:
Đáp án D
Ta có \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SA.\frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\].
Câu 20:
Cho hai số phức \[{z_1} = 3 + 2i,{z_2} = 1 - i\]. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức \[\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\] có tọa độ là:
Đáp án C
Ta có \[\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{3 + 2i}}{{1 - i}} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i\].
Điểm biểu diễn số phức \[{z_1}{z_2}\] có tọa độ là \[\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\].
Câu 21:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[\left( C \right)\] như hình vẽ. Diện tích phần hình phẳng tô đậm được tính theo công thức nào dưới đây?
Đáp án D
Ta có
Câu 22:
Tập nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} - x + 4}} = {4^{x + 1}}\] là:
Đáp án B
Ta có \[{2^{{x^{}} - x + 4}} = {4^{x + 1}} = {\left( {{2^2}} \right)^{x + 1}} = {2^{2\left( {x + 1} \right)}} \Rightarrow {x^2} - x + 4 = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].
Câu 23:
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[M\left( {1;2; - 3} \right)\] trên trục Oz có tọa độ là
Đáp án C
Điểm cần tìm là H với \[\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = 0\\{z_H} = {z_M}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0;0; - 3} \right)\].
Câu 24:
Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = {x^4} - 2{x^2} + 5\] trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] bằng:
Đáp án C
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên \[\left[ {0;2} \right]\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( {0;2} \right)\\y' = 4{x^3} - 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\].
Tính \[y\left( 0 \right) = 5;y\left( 2 \right) = 13;y\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow {\max _{\left[ {0;2} \right]}}y = 13\].
Câu 25:
Tập nghiệm của phương trình \[\log \left( {x - 2} \right) + \log \left( {x - 3} \right) = 1 - \log 5\] là
Đáp án B
Điều kiện: \[x > 3\;\;\;\left( * \right)\].
Phương trình \[ \Leftrightarrow \log \left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = \log \frac{{10}}{5}\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right. \Rightarrow x = 4\] thỏa mãn (*).
Câu 26:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
Đáp án B
ĐTHS có tiệm cận đứng x = - 1. Từ
Câu 27:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x}\sqrt {{e^x} + 1} \].
Đáp án B
Ta có
Câu 28:
Cho đồ thị hàm số \[y = {x^3} - \left( {m + n} \right){x^2} + \left( {2n - m} \right)x - 1\] (m, n là tham số thực) nhận \[A\left( {1;6} \right)\] là một điểm cực trị. Tính \[S = {m^2} + 2{n^2}\].
Đáp án A
Ta có \[y' = 3{x^2} - 2\left( {m + n} \right)x + 2n - m\].
Bài ra thì \[\left\{ \begin{array}{l}y\left( 1 \right) = 6\\y'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m - n + 2n - m - 1 = 6\\3 - 2m - 2n + 2n - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 8\end{array} \right. \Rightarrow S = 129\].
Câu 29:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều. Cạnh \[AA' = a\sqrt 6 \] và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {BCC'B'} \right)\] bằng \[a\sqrt 2 \]. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Đáp án B
Kẻ \[AH \bot BC \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \].
\[\Delta ABC\] đều \[ \Rightarrow AH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \frac{{2a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\].
\[ \Rightarrow V = AA'.{S_{ABC}} = AA'.\frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = 2{a^3}\sqrt 2 \].
Câu 30:
Cho số phức z thỏa mãn \[z\left( {1 - 2i} \right) + \overline z .i = 15 + i\]. Môđun của z bằng:
Đáp án A
Giả sử \[z = a + bi\;\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\].
Ta có
Câu 31:
Cho hàm số \[y = \frac{1}{3}m{x^3} - m{x^2} + 3x + 1\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?
Đáp án C
Ta có ngay \[m = 0\] thỏa mãn.
Với \[m \ne 0\], ép cho \[y' = m{x^2} - 2mx + 3 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' = {m^2} - 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 3\].
Câu 33:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh \[AB = a,SA = a\sqrt 2 \] và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] bằng
Đáp án C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {CSB}\].
\[\tan \widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{{BC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CSB} = 30^\circ \].
Câu 34:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AB. Thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng:
Đáp án C
Gọi H là trung điểm của cạnh \[AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\].
Kẻ \[HK \bot BC,HP \bot SK \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = 2HP\].
Ta có
\[\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow HP = a\sqrt {\frac{3}{7}} \].
Câu 35:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 1 = 0\] và mặt phẳng \[\left( Q \right):x - 3z + 2 = 0\]. Mặt phẳng \[\left( R \right):ax + by + cz - 2 = 0\] đi qua điểm \[A\left( {1; - 2;1} \right)\], đồng thời vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\]. Tính \[a + b + c\].
Đáp án C
Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có một VTPT là
Mặt phẳng \[\left( Q \right)\] có một VTPT là
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( R \right) \bot \left( P \right)\\\left( R \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( R \right)\] sẽ nhận \[\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {6;3;2} \right)\] là một VTPT.
Kết hợp với \[\left( R \right)\] qua \[A\left( {1; - 2;1} \right) \Rightarrow \left( R \right):6\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\].
\[ \Rightarrow \left( R \right):6x + 3y + 2z - 2 = 0\].
Câu 36:
Cho hình nón \[\left( N \right)\] có đường cao bằng \[a\sqrt 3 \], đáy của \[\left( N \right)\] có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của \[\left( N \right)\] là một tam giác có chu vi bằng 5a. Tính theo a diện tích S của tam giác này.
Đáp án C
Thiết diện qua đỉnh của \[\left( N \right)\] là \[\Delta SCD\] như hình vẽ.
\[\begin{array}{l}S{C^2} = S{O^2} + O{C^2} = 3{a^2} + {a^2} \Rightarrow SC = 2a.\\S{D^2} = S{O^2} + O{D^2} = 3{a^2} + {a^2} \Rightarrow SD = 2a.\end{array}\]
Bài ra có chu vi \[\Delta SCD\] bằng 5a
\[ \Rightarrow SC + SD + CD = 5a \Rightarrow 4a + CD = 5a \Rightarrow CD = a\].
Kẻ \[SP \bot CD\] mà \[SC = SD = 2a\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow PC = PD = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2} \Rightarrow S{P^2} = S{C^2} - C{P^2} = 4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow SP = \frac{{a\sqrt {15} }}{2} \Rightarrow {S_{SCD}} = \frac{1}{2}CD.SP = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sqrt {15} }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}.\end{array}\]
Câu 37:
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \[\left[ {0;10} \right]\] của tham số m để phương trình \[{4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4\left( {m - 1} \right) = 0\] có hai nghiệm thực dương phân biệt?
Đáp án B
Điều kiện: \[x \in \mathbb{R}\;\left( * \right)\]. Phương trình \[ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2m{.2^x} + 4\left( {m - 1} \right) = 0\].
Đặt \[t = {2^x} > 0\], ta được \[{t^2} - 2mt + 4\left( {m - 1} \right) = 0\;\;\;\left( 1 \right)\].
Để ý \[\Delta ' = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\] nên \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = m - \left( {m - 2} \right) = 2\\t = m + \left( {m - 2} \right) = 2m - 2\end{array} \right.\].
Do đó \[\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\{2^x} = 2m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{2^x} = 2m - 2\end{array} \right.\].
Khi đó \[{2^x} = 2m - 2\] cần phải có nghiệm thực dương khác 1.
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 2 > {2^0}\\2m - 2 \ne {2^1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{3}{2}\\m \ne 2\end{array} \right.\].
Mà \[m \in \mathbb{Z}\] và \[m \in \left[ {0;10} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\].
Câu 38:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng xét dấu của \[f'\left( x \right)\] như sau:
Bất phương trình \[f\left( x \right) < {e^{{x^2}}} + m\] đúng với mọi \[x \in \left( { - 1;0} \right)\] khi và chỉ khi
Đáp án A
Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^{{x^2}}},x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2x{e^x}\].
Với mọi \[x \in \left( { - 1;0} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\ - 2x{e^x} > 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow g\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( { - 1;0} \right)\].
Khi đó \[m > g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( 0 \right) \Leftrightarrow m \ge f\left( 0 \right) - 1\].
Câu 39:
Trong không gian Oxyz, cho điểm \[A\left( {2; - 2;1} \right)\] và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d.
Đáp án B
Ta có
Giả sử \[\Delta \] đi qua A, vuông góc và cắt d tại \[M \Rightarrow M\left( {t + 1;t - 1;3 - t} \right)\].
Đường thẳng nhận là một VTCP.
Đường thẳng d có một VTCP là
Ta có
Đường thẳng \[\Delta \] nhận là một VTCP nên nhận là một VTCP.
Kết hợp với \[\Delta \] qua \[A\left( {2; - 2;1} \right) \Rightarrow \Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z - 1}}{4}\].
Câu 40:
Cho hình phẳng \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt x ,y = 0,x = 4\]. Đường thẳng \[y = ax + b\] chia \[\left( H \right)\] thành hai phần có diện tích \[{S_1},{S_2}\] như hình vẽ. Biết \[{S_1} = \frac{5}{3}{S_2}\], tính \[a + b\].
Đáp án C
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[C\left( {4;2} \right) \Rightarrow 4a + b = 2\].
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm có tọa độ
Như vậy
Câu 41:
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình \[{x^2} + bx + 2 = 0\] có hai nghiệm phân biệt là:
Đáp án A
Không gian mẫu
Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt b chấm để phương trình \[{x^2} + bx + 2 = 0\] có hai nghiệm phân biệt”.
Phương trình \[{x^2} + bx + 2 = 0\] có hai nghiệm phân biệt
Mà
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 42:
Cho khối chóp tứ giác S.ABCD. Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB, SAC, SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\].
Đáp án C
Gọi \[{G_1},{G_2},{G_3}\] lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD, SAC.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.
\[ \Rightarrow \frac{{S{G_1}}}{{SI}} = \frac{{S{G_3}}}{{SJ}}\left( { = \frac{2}{3}} \right) \Rightarrow {G_1}{G_3}//IJ \Rightarrow {G_1}{G_3}//\left( {ABC} \right)\].
Tương tự \[{G_2}{G_3}//\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//\left( {ABCD} \right)\]
Qua \[{G_1}\] dựng đường song song với AB, cắt SA, SB lần lượt tại M, N.
Qua N dựng đường song song với BC, cắt SC tại P.
Qua P dựng đường song song với CD, cắt SD tại Q.
Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi \[\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\] là tứ giác MNPQ.
Ta có \[\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ABC}}\]
Tương tự \[{V_{S.MPQ}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ACD}} \Rightarrow {V_{S.MNPQ}} = {V_{S.MNP}} + {V_{S.MPQ}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}}\].
\[ \Rightarrow {V_{ABCD.MNPQ}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.MNPQ}} = \frac{{19}}{{27}}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}}}}{{\frac{{19}}{{27}}{V_{S.ABCD}}}} = \frac{8}{{19}}.\]
Câu 43:
Có bao nhiêu số nguyên m lớn hơn \[ - 10\] để hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + m{x^2} + 3x + 5m - 1\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\]?
Đáp án C
Ta có \[f'\left( x \right) = {x^2} + mx + 3\].
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\;\forall x \in \left( {1;3} \right)\].
Bảng biến thiên:
Vậy \[m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4} \right\}\].
Câu 44:
Cho hàm số bậc bốn \[y = f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 7\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \[y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án B
Ta có
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} = 2x + k\] mà \[f\left( 0 \right) = 7 \Rightarrow k = 7\].
\[ \Rightarrow 4f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^2} - 8x + 28 = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + 2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4 > 0,\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right) > 0\]
Khi đó \[y' = 2f\left( x \right).f'\left( x \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2\].
Câu 45:
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm và liên tục trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 4x - 1\]. Tính \[I = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \].
Đáp án C
Đặt \[x = {t^3} + 3t + 1\]. Đổi cận \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 5 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\].
Câu 46:
Cho số phức \[z = a + bi\;\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\] thỏa mãn \[\left| {z - 1} \right| = \left| {z + i} \right|\]. Tính \[S = a + 5b\] khi \[{\left| {z - 2 - i} \right|^2} + {\left| {z + 3 + i} \right|^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp án C
Giả sử \[z = x + yi\;\left( {z,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| {x - 1 + yi} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \Rightarrow d:x + y = 0.\]
Điểm \[M\left( {x;y} \right)\] biểu diễn số phức \[z \Rightarrow M \in d\].
Xét \[A\left( {2;1} \right),B\left( { - 3;1} \right),I\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\] là trung điểm của đoạn thẳng AB
\[ \Rightarrow {\left| {z - 2 - i} \right|^2} + {\left| {z + 3 + i} \right|^2} = M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\]
Ta có \[AB\left( {const} \right),IM \ge d\left( {I;d} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\] nên \[{P_{\min }} \Leftrightarrow IM \bot d\].
Khi đó \[IM:1.\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + \frac{1}{2} = 0\].
Tọa độ của M là nghiệm của hệ
Câu 47:
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \[A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2;1;0} \right),C\left( {4;3; - 2} \right),D\left( {3;4;1} \right)\] và \[E\left( {1;1; - 1} \right)\]. Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm đã cho?
Đáp án C
Ta có
Mà không thẳng hàng.
Nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có
Mà
Ta có hình chóp E.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành.
Các mặt phẳng cách đều 5 điểm đã cho là:
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên EA, EB, EC, ED.
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của ED, EC, AD, BC.
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, EB, DC, AB.
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA, EB, AD, BC.
+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA, ED, AB, DC.
Câu 48:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \[{\log _3}{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = x + 2y\] là:
Đáp án D
Ta có \[\begin{array}{l}{\log _3}{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) + {{\log }_3}\left( {y + 1} \right)} \right] + \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 9\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) + {{\log }_3}\left( {y + 1} \right) + x - 1} \right] = 9\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x - 1 = \frac{9}{{y + 1}} - {\log _3}\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x + 1 - 2 = \frac{9}{{y + 1}} - 2 + {\log _3}\frac{9}{{y + 1}}\end{array}\]
Xét hàm số \[f\left( t \right) = {\log _3}t + t - 2\], với \[t > 0\] có \[f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\] với mọi \[t > 0\].
Nên hàm số \[f\left( t \right)\] luôn đồng biến liên tục trên \[\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 = \frac{9}{{y + 1}}\].
\[ \Rightarrow x = \frac{9}{{y + 1}} - 1 = \frac{{8 - y}}{{y + 1}}\], do \[x > 0 \Rightarrow y \in \left( {0;8} \right)\].
Do đó
Dấu “=” xảy ra
Câu 49:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\] trên đoạn \[\left[ {1;2} \right]\] bằng 2. Số phần tử của S là:
Đáp án C
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên \[\left[ {1;2} \right]\].
Xét hàm số, với \[x \in \left[ {1;2} \right]\] ta có:
\[f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + m} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\;\forall x \in \left( {1;2} \right)\].
Tính \[f\left( 1 \right) = \frac{{2m + 1}}{2};f\left( 2 \right) = \frac{{3m + 4}}{3}\]
+ TH1:
Với \[m = \frac{3}{2} \Rightarrow y\left( 2 \right) = \frac{{17}}{6} > 2 \Rightarrow m = \frac{3}{2}\] không thỏa mãn.
Với thỏa mãn.
+ TH2:
Với thỏa mãn.
Với không thỏa mãn.
Câu 50:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left( {1;3;10} \right),B\left( {4;6;5} \right)\] và M là điểm thay đổi trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho MA, MB cùng tạo với \[\left( {Oxy} \right)\] hai góc bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AM.
Đáp án A
Gọi \[M\left( {x;y;0} \right) \in \left( {Oxy} \right):z = 0\].
Ta có \[d\left( {A;\left( {Oxy} \right)} \right) = 10\] và \[d\left( {B;\left( {Oxy} \right)} \right) = 5\].
Bài ra MA, MB cùng tạo với \[\left( {Oxy} \right)\] hai góc bằng nhau, gọi góc này là \[\alpha \].
Ta có
Dấu “=” xảy ra
Khi đó