Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M khác O, đường thẳng CM cắt đường tròn tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với dường tròn tại N ở điểm P.

a) Chứng minh: Tứ giác $OMNP$  nội tiếp.

c, Chứng minh:$EC.ED=EH.EM$

b) Các tam giác IEH và MEA đồng dạng với nhau.

Cho đường tròn tâm O đường kính A, M là một điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( M khác O   và B ). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB cắt (O) tại C, D. Trên tia MD lấy E   nằm ngoài (O). Đường thẳng AE cắt (O) tại điểm I khác A, đường thẳng BE cắt (O) tại điểm K khác B. Gọi  H là giao điểm của BI và. Chứng minh:

a) Tứ giác $MBEI$  nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đó.

Cho nửa đường tròn (O)  đường kính AB=2R , dây cung AC . Gọi  M là điểm chính giữa cung AC . Đường thẳng kẻ từ C  song song với  BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở  D,  cắt AC  tại  H.

1. Chứng minh tứ giác $CKMH$  nội tiếp.

c) Chứng minh: $\frac{AE}{BF}+\frac{AC}{BK}=\frac{AF}{BF}+\frac{AC}{BK}$ .

b) Kẻ đường cao BK của $\Delta ABC$ . Chứng minh: $\frac{EF}{BF}=\frac{CK}{BK}$ .

Cho  $\Delta ABC$có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)  . Đường cao CD của $\Delta ABC$  cắt đường tròn (O)   tại E. Từ B kẻ $BF\perp AE$  tại F.

a) Chứng minh tứ giác $BDEF$  nội tiếp được đường tròn.

Cho $∆ABC$  có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm  D và E Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng  CD và BE

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

b) Chứng minh rằng $IA.IC=IB.ID$

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB;  IK vuông góc với AD ($H\in AB;K\in AD$ ).

a) Chứng minh tứ giác $AHIK$  nội tiếp đường tròn.

Chứng minh:

c/ $\Delta BDC$  cân.

Chứng minh:

b/ $A{B}^2=AE.AD.$

Cho đường tròn (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến  AB và AC với đường tròn. Kẻ dây $CD\text{//}AB$ . Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:

c, Chứng minh rằng: $\widehat{KAC}=\widehat{OMB}$

Cho đường tròn tâm O  , đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn(O)  tại A lấy điểm  M$\left(M\ne A\right)$ . Từ  vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) ( C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc vớiAB$\left(H\in AB\right)$ ,MB   cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại K. Chứng minh rằng:

Cho đ­ường tròn (O) đ­ường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đ­ường tròn  $(C\ne A;C\ne B)$. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ­ường tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.

Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE.

Chứng minh 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Cho hình thoi ABCD có góc A bằng   $60°$, AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.

Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh:  AC. BD = AB. DC + AD. BC

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh  $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta CMD$  từ đó suy ra $IMKN$  là tứ giác nội tiếp.

Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ $AH\perp BC$ . Nửa đường tròn đường kính BH,  CH lần lượt có tâm $O_1$ ; $O_2$  cắt $AB$  và CA thứ tự tại D và E.

a) Chứng minh tứ giác $ADHE$  là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết  $R=25$và $BH=10$

2. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia  AC và AD  cắt Bx lần lượt ở E, F (  F ở giữa B và E)

1. Chứng minh:$\widehat{ABD}=\widehat{DFB}$ .

b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp (xem cách giải Bài 3)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai  MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm).AC cắt OM tại E  ; MB cắt nửa đường tròn (O)   tại D ( D khác B ).

a) Chứng minh: $AMCO$  và $AMDE$  là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b, Chứng minh MI² = MH.MK;

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.

a)    Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được;

Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ   giác BCB’C’ nội tiếp.

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính  (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Các đường thẳng CM và DM cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của EF.

c) Vẽ đường kính MN của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm A, O’, N thẳng hàng.

b) Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O’).