Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án
-
590 lượt thi
-
3 câu hỏi
-
50 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hình thoi ABCD có góc A bằng , AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD
Do ABCD là hình thoi nên ta có .
Ta có nên (tính chất đường chéo hình thoi)
Tam giác ABO vuông tại O có
Xét tam giác vuông ABO có ( hai góc phụ nhau) mà suy ra hay
( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung điểm của AB.
Tam giác EOB là tam giác cân tại E có nên tam giác EBO là tam giác đều
Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :
Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Do
Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF
(c-c-c)
Gọi O là trung điểm của BD.
Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên
Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên
Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên
Từ . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.
Câu 3:
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE.
Chứng minh 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.
Do AC và AB là các tiếp tuyến nên
Do I là trung điểm của ED nên
(đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây cung)
hay
Gọi P là trung điểm của OA
Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên
Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên
Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên
Vậy nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.