Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Mệnh đề - Kết nối tri thức

Bài 1.1 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Các số nguyên tố đều là số lẻ;

b) Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt.

c) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2.

Lời giải:

a) Mệnh đề “Các số nguyên tố đều là số lẻ” là mệnh đề sai do số nguyên tố 2 là số chẵn.

b) Ta có x² ≥ 0 ∀ x $\in$ ℝ nên x² + 1 > 0 ∀ x $\in$ ℝ.

Suy ra phương trình x² + 1 = 0 không có nghiệm nguyên.

Do đó mệnh đề “Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt” là mệnh đề sai.

c) Số chia hết cho 2 là số chẵn nên mệnh đề “Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2” là mệnh đề đúng.

Bài 1.2 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) 106 là hợp số; 

b) Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180°.

Lời giải:

a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “106 là hợp số” là mệnh đề “106 không phải là hợp số”.

b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180°” là mệnh đề “Tổng số đo ba góc trong một tam giác không bằng 180°”.

Bài 1.3 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai mệnh đề sau: 

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”. 

Q: “Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD”. 

Hãy phát biểu mệnh đề P Q và mệnh đề đảo của mệnh đề đó.

Lời giải:

Mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề Q $\Rightarrow$ P.

Mệnh đề Q $\Rightarrow$ P là “Nếu tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Bài 1.4 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Phát biểu dưới dạng “điều kiện cần” đối với các mệnh đề sau: 

a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. 

b) Số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Lời giải:

a) Điều kiện cần của hai góc đối đỉnh là hai góc đó bằng nhau.

b) Điều kiện cần để số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 là số đó chia hết cho 3.

Bài 1.5 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:

a) Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3.

b) Nếu x > y thì x³ > y³.

Lời giải:

a) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3” là mệnh đề “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6”.

Mệnh đề “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6” là mệnh đề sai do số tự nhiên n chia hết cho 3 thì ta chỉ khẳng định được n có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có rất nhiều số chia hết cho 3 ngoài 6.

Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3” là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu x > y thì x³ > y³” là mệnh đề “Nếu x³ > y³ thì x > y”.

Ta có x³ > y³ $\iff$ x³ - y³ > 0 $\iff$ (x - y)(x² + xy + y²) > 0.

x² + xy + y² = x² + 2.x. $\frac{y}{2}$ +$\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}$ = ${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}$  > 0 ∀ x, y $\in$ ℝ.

Do đó x - y > 0 $\iff$ x > y.

Vậy mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu x > y thì x³ > y³” là mệnh đề đúng.

Bài 1.6 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của chúng.

a) P: “x2 + y2 = 0”; Q: “x = 0 và y = 0”.

b) P: “x2 > 0”; Q: “x > 0”.

Lời giải:

a) Mệnh đề P $\iff$ Q là “x² + y² = 0 khi và chỉ khi x = 0 và y = 0”.

Xét mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề “Nếu x² + y² = 0 thì x = 0 và y = 0”.

Ta có x² ≥ 0; y² ≥ 0 ∀x, y $\in$ ℝ.

Suy ra x² + y² ≥ 0 ∀x, y $\in$ ℝ.

Suy ra x² + y² = 0 khi x² = 0 và y² = 0.

Suy ra x = 0 và y = 0.

Do đó mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề đúng.

Xét mệnh đề Q $\Rightarrow$ P là mệnh đề “Nếu x = 0 và y = 0 thì x² + y² = 0”.

Mệnh đề này là mệnh đề đúng vì khi x = 0 và y = 0 thì x² = 0 và y² = 0.

Khi đó x² + y² = 0.

Vậy mệnh đề P $\iff$ Q là mệnh đề đúng do cả hai mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và Q $\Rightarrow$ P là hai mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề P $\iff$ Q là “x² > 0 khi và chỉ khi x > 0”.

Xét mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề “Nếu x² > 0 thì x > 0”.

Ta có x² ≥ 0 ∀x $\in$ ℝ.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 nên x² > 0 khi x ≠ 0.

Suy ra mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề sai.

Vậy mệnh đề P $\iff$ Q là mệnh đề sai do mệnh đề P $\Rightarrow$ Q là mệnh đề sai.

Bài 1.7 trang 7 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng, sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

P: “∃x ℝ, x4 < x2”.

Lời giải:

Với x = $\frac{1}{2}$  thì x⁴ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$  ; x² = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$  .

Ta thấy $\frac{1}{16}<\frac{1}{4}$  nên x⁴ < x².

Do đó mệnh đề P là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là Q: “∀x $\in$ ℝ, x⁴ ≥ x²”.

Bài 1.8 trang 7 SBT Toán 10  Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10”.

Lời giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10” là mệnh đề “Tồn tại một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 không chia hết cho 10”.