Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 6 

A – Trắc nghiệm

Bài 6.33 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Thu nhập bình quân theo đầu người (GDP) của Việt Nam (tính theo USD) trong vòng 10 năm, từ năm 2009 đến năm 2018 được cho bởi bảng sau (dựa theo số liệu của Tổng cục Thống kê):

Bảng này xác định một hàm số chỉ sự phụ thuộc của GDP (kí hiệu là y) vào thời gian x (tính bằng năm). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Giá trị của hàm số tại x = 2018 là 2 587;

B. Tập xác định của hàm số có 10 phần tử;

C. Tập giá trị của hàm số có 10 phần tử;

D. Giá trị của hàm số tại x = 2 587 là 2018.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng:

Ta thấy: x là thời gian tính bằng năm và không hề tồn tại giá trị x = 2 587 hay năm 2 587 ở trong bảng. Vậy đáp án D sai. 

Bài 6.34 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Các đường dưới đây, đường nào không là đồ thị của hàm số ?

A. 

B.  

C.

D. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hình B:

Ta thấy, trong hình vẽ, với một giá trị của x ta có thể xác định được hai giá trị của y tương ứng nên đây không phải đồ thị hàm số.

Bài 6.35 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x}$ là

A. ℝ\{0};

B. ℝ;

C. [0; +∞);

D. (0; +∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của hàm số $y=\sqrt{x}$ là: x ≥ 0.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x}$ là: D = [0; +∞).

Bài 6.36 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Hàm số $y=\frac{1}{x}$ có

A. Tập xác định là ℝ\{0} và tập giá trị là ℝ;

B. Tập xác định và tập giá trị cùng là ℝ\{0};

C. Tập xác định là ℝ và tập giá trị là ℝ\{0};

D. Tập xác định và tập giá trị cùng là ℝ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của hàm số $y=\frac{1}{x}$ là: x ≠ 0.

Khi đó $\frac{1}{x}\ne 0$ với mọi x ≠ 0.

Do đó, tập xác định và tập giá trị của hàm số cùng là ℝ\{0}.

Bài 6.37 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Với những giá trị nào của m thì hàm số f(x) = (m + 1)x + 2 đồng biến trên ℝ ?

A. m > –1;

B. m = 1;

C. m < 0;

D. m = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số f(x) = (m + 1)x + 2 đồng biến trên ℝ ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > –1.

Bài 6.38 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

A. $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$;

B. y = |3 – x|;

C. y = |x|;

D. y = |2x|.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta có:

Khi x = 2 thì y = 1, thay vào các hàm số đã cho, ta thấy $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$, y = |3 – x| thỏa mãn.

Khi x = –2 thì y = 1, chỉ có hàm số $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$ thỏa mãn.

Vậy đồ thị đã cho trên là đồ thị của hàm số $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$.

Bài 6.39 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Trục đối xứng của parabol (P): y = 2x² + 6x + 3 là

A. y = –3;

B. $y=-\frac{3}{2}$;

C. x = –3;

D.$x=-\frac{3}{2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Trục đối xứng của parabol (P): y = 2x² + 6x + 3 là $x=\frac{-6}{2.2}=\frac{-3}{2}$.

Bài 6.40 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Parabol y = –4x – 2x²  có đỉnh là

A. I(–1; 1);

B. I(–1; 2);

C. I(1; 1);

D. I(2; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Parabol y = –4x – 2x² = – 2x² – 4x  có đỉnh có:

Hoành độ: $x_0=\frac{-(-4)}{2.(-2)}=-1$

Tung độ: y₀ = –4.(–1) – 2.(–1)² = 2

Vậy tọa độ đỉnh của parabol y = –4x – 2x² là I(–1; 2).

Bài 6.41 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hàm số y = x² – 2x + 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (–∞; 2);

B. Hàm số nghịch biến trên (–∞; 2);

C. Hàm số đồng biến trên (–∞; 1);

D. Hàm số nghịch biến trên (–∞; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Parabol y = x² – 2x + 3 có a = 1 > 0

Ta có: $-\frac{b}{2a}=-\frac{(-2)}{2.1}=1$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Bài 6.42 trang 24 SBT Toán 10 Tập 2: Đường parabol trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào ?

A. y = x² + 2x – 3;

B. y = –x² – 2x + 3;

C. y = –x² + 2x – 3;

D. y = x² – 2x – 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét đồ thị:

Parabol có bề lõm hướng lên nên hệ số a > 0, do đó các hàm số y = x² + 2x – 3, y = x² – 2x – 3 thỏa mãn.

Khi x = 1 thì y = 0 nên chỉ có hàm số y = x² + 2x – 3 thỏa mãn.

Bài 6.43 trang 24 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hàm số bậc hai y = a${\mathrm{x}}^2$ + bx + c có đồ thị là đường parabol dưới đây. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. a < 0, b < 0, c < 0;

B. a < 0, b < 0, c > 0;

C. a < 0, b > 0, c < 0;

D. a < 0, b > 0, c > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét đồ thị:

Parabol có bề lõm hướng xuống nên a < 0.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0.

Đỉnh parabol có hoành độ dương nên $-\frac{b}{2a}$ > 0 mà a < 0 nên b > 0.

Vậy a < 0, c > 0, b > 0.

Bài 6.44 trang 24 SBT Toán 10 Tập 2: Điều kiện cần và đủ của tham số m để parabol (P): y = x² – 2x + m – 1  cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung là

A. m < 1;

B. m < 2;

C. m > 2;

D. m > 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Parabol (P): y = x² – 2x + m – 1  cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung tức là phương trình x² – 2x + m – 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu

⇔ ac < 0

⇔ 1.(m – 1) < 0

⇔ m – 1 < 0

 ⇔ m < 1.

Bài 6.45 trang 24 SBT Toán 10 Tập 2: Bảng xét dấu dưới đây là của tam thức bậc hai nào?

A. f(x) = –x² + x + 6;

B. f(x) = x² – x – 6;

C. f(x) = –x² + 5x – 6; 

D. f(x) = x² – 5x + 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét bảng xét dấu:

Trên khoảng (–2; 3) thì f(x) > 0 nên a < 0, các hàm số f(x) = –x² + x + 6 ; f(x) = –x² + 5x – 6 thỏa mãn.

Khi x = –2 thì f(x) = 0 nên chỉ có hàm số f(x) = –x² + x + 6 thỏa mãn.

Bài 6.46 trang 24 SBT Toán 10 Tập 2: Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức f(x) = x² + 12x + 36 ?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức f(x) = x² + 12x + 36 có:

a = 1 > 0

Δ = 12²  – 4.1.36 = 0

f(x) = x² + 12x + 36 = 0  ⇔ x = –6

Do đó, f(x) > 0 với x ∈ ℝ\{–6} và f(x) = 0 tại x = –6

Vậy ta có bảng biến thiên:

Bài 6.47 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình x² – 4x + 3 < 0 là

A. (1; 3);

B. (–∞; 1)∪[3; +∞);

C. [1; 3];

D. (–∞; 1]∪[4; +∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

x² – 4x + 3 < 0 (*)

Xét tam thức f(x) = x² – 4x + 3 < 0 có:

a = 1 > 0

Δ = (–4)² – 4.1.3 = 4 > 0

f(x) = x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x₁ = 1; x₂ = 3

Do đó, x² – 4x + 3 < 0 ⇔ 1 < x < 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là: (1; 3).

Bài 6.48 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Các giá trị của tham số m làm cho biểu thức f(x) = x² + 4x + m – 5 luôn dương là

A. m ≥ 9;

B. m > 9;

C. Không có m;

D. m < 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức f(x) = x² + 4x + m – 5 có:

a = 1 > 0

f(x) luôn dương ⇔ Δ < 0

⇔ 4² – 4.1.(m – 5) < 0

⇔ 16 – 4m + 20 < 0

⇔ 4m > 36

⇔ m > 9.

Bài 6.49 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình (m + 2) $x^2$ – 3x + 2m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

A. m < –2 hoặc $m>\frac{3}{2}$;

B. $m>\frac{3}{2}$;

C. $-2<m<\frac{3}{2}$;

D. m < 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình (m + 2) x² – 3x + 2m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

ac < 0

⇔ (m + 2)(2m – 3) < 0

 ⇔ 2m² – 3m + 4m – 6 < 0

⇔ 2m² + m – 6 < 0

Xét tam thức f(x) = 2m² + m – 6 có:

a = 2 > 0

Δ = 1² – 4.1.(–6) = 25 > 0

f(x) = 2m² + m – 6  = 0 có hai nghiệm là: x₁ = –2; x₂ = $\frac{3}{2}$.

Do đó, 2m² + m – 6 < 0 ⇔ –2 < x < $\frac{3}{2}$ 

Vậy phương trình (m + 2) x² – 3x + 2m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $-2<m<\frac{3}{2}$.

Bài 6.50 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Bất phương trình mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

+) Khi m = 0, ta có:

mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0

⇔ x + 1 < 0

⇔ x < –1

Do đó, m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

+) Khi m ≠ 0, ta có:

Xét tam thức: f(x) = mx² – (2m – 1)x + m + 1 có:

a = m,

∆ = [–(2m – 1)²] – 4.m.(m + 1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 4m = –8m + 1

Để mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi mx² – (2m – 1)x + m + 1 ≥ 0 với mọi số thực x

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ -8m+1\le 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ m\ge \frac{1}{8}\end{array}\right.\iff m\ge \frac{1}{8} \end{gathered}$$

Vậy khi $m\ge \frac{1}{8}$ thì bất phương trình mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm.

Bài 6.51 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2+4x-2}=x-3$ là

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

$\sqrt{x^2+4x-2}=x-3$ (*)

Bình phương hai vế (*) ta có:

x² + 4x – 2 = (x – 3)²

⇔ x² + 4x – 2 = x² – 6x + 9

⇔ 10x = 11

⇔ $x=\frac{11}{10}$

Thay $x=\frac{11}{10}$ vào (*) ta có:

$\sqrt{{\left(\frac{11}{10}\right)}^2+4.\frac{11}{10}-2}=\frac{11}{10}-3\iff \frac{19}{10}=-\frac{19}{10}$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình (*) vô nghiệm.

Bài 6.52 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Tập nghiệm của phương trình

 $\sqrt{2x^2-9x-9}=3-x$là

A. S = {6};

B. S = ∅;

C. S = {–3};

D. S = {–3; 6}.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

$\sqrt{2x^2-9x-9}=3-x$ (*)

Bình phương hai vế (*) ta có:

2x² – 9x – 9 =  (3 – x)²

⇔ 2x² – 9x – 9 = 9 – 6x + x²

⇔ x² – 3x – 18 = 0

⇔ x = 6 hoặc x = –3

Thay x = 6 vào (*) ta có:

$\sqrt{{2.6}^2-9.6-9}=3-6\iff 3=-3$ (không thỏa mãn)

Thay x = –3 vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{2.{(-3)}^2-9.(-3)-9}=3-(-3) \\ \iff 6=6 \left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S = {–3}.

Bài 6.53 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Tập nghiệm của phương trình

 $\sqrt{2x^2-5x+1}=\sqrt{x^2+2x-9}$ là

A. S = {2};

B. S = {5};

C. S = ∅;

D. S = {2; 5}.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

$\sqrt{2x^2-5x+1}=\sqrt{x^2+2x-9}$ (*)

Bình phương hai vế của (*) ta có:

2x² – 5x + 1 = x² + 2x – 9

⇔ x² – 7x + 10 = 0

⇔ x = 5 hoặc x = 2

Thay x = 5 vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{{2.5}^2-5.5+1}=\sqrt{5^2+2.5-9} \\ \iff \sqrt{26}=\sqrt{26} \left(\mathrm{tm}\right) \end{gathered}$$

Thay x = 2 vào (*) ta có:

$\sqrt{{2.2}^2-5.2+1}=\sqrt{2^2+2.2-9}$$\iff \sqrt{-1}=\sqrt{-1}$ (không thể tồn tại)

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S = {5}.

B – Tự luận

Bài 6.54 trang 25 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{-x^2+3x-2}$;

b) $y=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$.

Lời giải:

a)

Điều kiện xác định của hàm số là: –x² + 3x – 2 ≥ 0

Xét tam thức f(x) = –x² + 3x – 2  có:

a = –1 < 0

∆ = 3² – 4.(–1).(–2) = 1 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là: x₁ = 2 ; x₂ = 1

Do đó, ta có:

–x² + 3x – 2 ≥ 0

⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Vậy tập xác định của hàm số là: D = [1; 2].

b)

Điều kiện xác định của hàm số là:

x² – 1 > 0

⇔ x² > 1

⇔ x < –1 hoặc x > 1

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (–∞; –1)∪(1; +∞).

Bài 6.55 trang 26 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hàm số $y=\left\{\begin{array}{c}2x+3khi-2\le x<-1\\ \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}khi-1\le x<1\\ -\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}khi1\le x\le 3\end{array}\right.$.

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Vẽ đồ thị hàm số.

c) Từ đồ thị vẽ ở ý b) hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

d) Tìm tập giá trị của hàm số.

Lời giải:

a)

Tập xác định của hàm số là tập giá trị của x là đoạn D = [–2; 3].

b)

Trên nửa khoảng [–2; –1), đồ thị hàm số là đoạn thẳng đi qua điểm (–2; –1) và (–1,5; 0)

Trên nửa khoảng [–1; 1), đồ thị hàm số là đoạn thẳng đi qua điểm (–1; 1) và (0; 1,5)

Trên đoạn [1; 3], đồ thị hàm số là đoạn thẳng đi qua điểm (1; 4) và (3; 3).

Vậy ta vẽ được đồ thị hàm số như hình dưới đây

c)

Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng (–2; 1) và đi xuống trên khoảng (1; 3)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (–2; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 3).

d)

Dựa vào đồ thị ta thấy tập giá trị của hàm số là [–1; 2) ∪ [3; 4].

Bài 6.56 trang 26 SBT Toán 10 Tập 2: Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của chúng.

a) y = |x – 1| + |x + 1|;

b) $y=\left\{\begin{array}{c}x+1khix<-1\\ x^2-1khix\ge -1\end{array}\right.$.

Lời giải:

a)

y = |x – 1| + |x + 1|

Hàm số có tập xác định là: D = ℝ

$y=\left|x-1\right|+\left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{c}-2xkhix<-1\\ 2khi-1\le x<1\\ 2xkhix\ge 1\end{array}\right.$.

Trên khoảng (–∞; –1), đồ thị hàm số là đường thẳng y = –2x

Trên nửa khoảng [–1; 1), đồ thị hàm số là đường thẳng y = 2 (song song với trục Ox)

Trên nửa khoảng [1; +∞), đồ thị hàm số là đường thẳng y = 2x

Khi x = –1 thì y = 2 nên đồ thị hàm số đi qua điểm (–1; 2)

Khi x = 1 thì y = 2 nên đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2)

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Dựa vào đồ thị có:

- Tập giá trị của hàm số là T = [2; +∞).

- Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (–∞; –1), đi lên trên từ trái sang phải trên khoảng (1; +∞), và song song với trục Ox trên khoảng (–1; 1).

Do đó, hàm số này nghịch biến trên khoảng (–∞; –1), đồng biến trên khoảng (1; +∞), và là hàm hằng trên (–1; 1).

b)

Tập xác định hàm số là D = ℝ.

$y=\left\{\begin{array}{c}x+1khix<-1\\ x^2-1khix\ge -1\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số là đường thẳng y = x + 1 trên khoảng (–∞; –1), đường thẳng này đi qua điểm (–2; –1) và (–3; –2).

Đồ thị hàm số là parabol y = x² – 1 trên nửa khoảng [–1; +∞), parabol này có đỉnh (0; –1), trục đối xứng x = 0 (trục Oy) và đi qua điểm (–1; 0) và (1; 0).

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Dựa vào đồ thị ta có:

- Tập giá trị của hàm số là: T = ℝ.

- Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên các khoảng (–∞; –1) và (0; +∞), đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (–1; 0).

Do đó, hàm số này đồng biến trên khoảng (–∞; –1) và (0; +∞), nghịch biến trên khoảng (–1; 0).

Bài 6.57 trang 26 SBT Toán 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c, hãy xác định dấu của các hệ số a, b, c trong mỗi trường hợp dưới đây.

Lời giải:

a)

Xét hình (a) ta có:

Parabol có bề lõm hướng xuống nên a < 0

Parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên c > 0

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $-\frac{b}{2a}$ < 0. Mà a < 0 nên b < 0

Vậy a < 0, c > 0, b < 0.

b)

Xét hình (b) ta có:

Parabol có bề lõm hướng lên nên a > 0

Parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên c > 0

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $-\frac{b}{2a}$ > 0. Mà a > 0 nên b < 0

Vậy a > 0, c > 0, b < 0.

c)

Xét hình (c) ta có:

Parabol có bề lõm hướng lên nên a > 0

Parabol cắt trục Oy tại gốc tọa độ nên c = 0.

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $-\frac{b}{2a}$ < 0. Mà a > 0 nên b > 0

Vậy a > 0, c = 0, b > 0.

d)

Xét hình (d) ta có:

Parabol có bề lõm hướng xuống nên a < 0

Parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên c < 0

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $-\frac{b}{2a}$ > 0. Mà a < 0 nên b > 0

Vậy a < 0, c < 0, b > 0.

Bài 6.58 trang 26 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mỗi trường hợp dưới đây, hãy vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ rồi xác định toạ độ giao điểm của chúng:

a) y = –x + 3 và y = –x² – 4x + 1.

b) y = 2x – 5 và y = x² – 4x – 1.

Lời giải:

a)

Đồ thị hàm số y = –x + 3 là đường thẳng đi qua điểm (0; 3), (–1; 4) và (3; 0)

Đồ thị hàm số y = –x² – 4x + 1 là parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh là điểm (–2; 5), trục đối xứng x = –2, đi qua các điểm (0; 1) và (–1; 4)

Đồ thị hai hàm số như hình vẽ:

Toạ độ giao điểm của chúng là: (–1; 4) và (–2; 5).

b)

Đồ thị hàm số y = 2x – 5 là đường thẳng đi qua điểm (0; –5), (2,5; 0)

Đồ thị hàm số y = x² – 4x – 1 là parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh là điểm (2; –5), trục đối xứng x = 2, đi qua điểm (0; –1).

Đồ thị hai hàm số như hình vẽ:

Hai đồ thị hàm số có giao điểm là M và N

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

x²  – 4x – 1 = 2x – 5

⇔ x² – 6x  + 4 = 0

⇔ $x=3-\sqrt{5}$ hoặc $x=3+\sqrt{5}$

Với $x=3-\sqrt{5}$ ta được $y=2.\left(3-\sqrt{5}\right)-5=1-2\sqrt{5}$. Vậy $M\left(3-\sqrt{5};1-2\sqrt{5}\right)$.

Với $x=3+\sqrt{5}$ ta được $y=2.\left(3+\sqrt{5}\right)-5=1+2\sqrt{5}$. Vậy $N\left(3+\sqrt{5};1+2\sqrt{5}\right)$.

Bài 6.59 trang 26 SBT Toán 10 Tập 2: Vẽ đồ thị mỗi hàm số sau, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình tương ứng

a) y = x² – 3x + 2 và bất phương trình: x² – 3x + 2 ≥ 0;

b) y = x² – x – 6 và bất phương trình: x² – x – 6 < 0.

Lời giải:

a)

Đồ thị hàm số y = x² – 3x + 2 là parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh là (1,5; –0,25), đi qua hai điểm (1; 0) và (2; 0). Đồ thị hàm số như hình vẽ:

Việc giải bất phương trình x² – 3x + 2 ≥ 0 ứng với việc tìm các khoảng mà phần đồ thị tương ứng của nó nằm phía trên trục hoành. Từ đồ thị trên ta thấy khi x ≤ 1 và x ≥ 2 thì đồ thị hàm số y = x² – 3x + 2 nằm phía trên trục hoành.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–∞; 1]∪[2; +∞).

b)

Đồ thị hàm số y = x² – x – 6 là parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh là: (0,5; –6,25), đi qua hai điểm (–2; 0), (3; 0) được vẽ trong hình sau:

Việc giải bất phương trình y = x² – x – 6 < 0 ứng với việc tìm các khoảng mà phần đồ thị tương ứng của nó nằm phía dưới trục hoành. Từ đồ thị trên ta thấy khi –2 < x < 3 thì đồ thị hàm số y = x² – x – 6 nằm phía dưới trục hoành.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–2; 3).

Bài 6.60 trang 26 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định ℝ;

b) Tam thức bậc hai y = –x² + mx – 1 có dấu không phụ thuộc vào x;

c) Hàm số $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$ có tập xác định chỉ gồm một phần tử.

Lời giải:

a)

Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định là ℝ nếu và chỉ nếu mx² – 2mx + 5 > 0 với mọi số thực x

- Khi m = 0 thì hàm số cho bởi công thức $y=\frac{1}{\sqrt{5}}$lúc này hàm số có tập xác định là ℝ.

- Khi m ≠ 0 thì mx² – 2mx + 5 > 0 với mọi số thực x nếu và chỉ nếu a = m > 0 và ∆’ = m² – 5m < 0

Xét tam thức bậc hai: f(m) = m² – 5m có:

a = 1 > 0, ∆_m = (–5)² – 4.1.0 = 25 > 0

f(m) = 0 có hai nghiệm phân biệt là: m = 0 hoặc m = 5

Do đó, m² – 5m < 0 ⇔ 0 < m < 5

Vậy hàm số đã cho xác định trên ℝ nếu và chỉ nếu 0 ≤ m < 5.

b)

Tam thức y = –x² + mx – 1 có dấu không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi

∆ = m²  – 4 < 0 

⇔ m² < 4

⇔ –2 < m < 2.

Vậy tam thức y = –x² + mx – 1 có dấu không phụ thuộc vào x khi 2 < m < 2.

c)

Ta có:

Hàm số $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$ có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi nó có dạng $y=\sqrt{-2{\left(x+\alpha \right)}^2}$. Điều này tương đương với

$\frac{m^2}{8}-m-6=0$

⇔ m­² – 8m – 48  = 0

⇔ m = –4 hoặc m = 12

Vậy khi m = –4 hoặc m = 12 thì hàm số $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử.

Bài 6.61 trang 27 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 13 cm. Tìm vị trí điểm M trên cạnh AD sao cho BM = 2MD.

Lời giải:

Đặt AM = x (0 < x < 13).

Xét tam giác ABM vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AM² + AB²  = BM²

$\Rightarrow BM=\sqrt{A{M}^2+A{B}^2}=\sqrt{36+x^2}$ và MD =13 – x.

Theo giả thiết ta có: BM = 2MD

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt{36+x^2}=2.\left(13-x\right) \\ \iff \sqrt{36+x^2}=26-2x \left(*\right) \end{gathered}$$ 

Bình phương hai vế của (*) ta có:

36 + x² = 26² – 104x + 4x²

⇔ 3x² – 104x + 640 = 0

⇔ x = 8 (thỏa mãn) hoặc x = $\frac{80}{3}$ > 13 (loại)

Vậy AM = 8 cm hay điểm M nằm trên cạnh AD sao cho AM = 8 cm thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 6.62 trang 27 SBT Toán 10 Tập 2: Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v0, góc ném hợp với phương ngang Ox một góc α, nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác động của trọng lực với gia tốc trọng trường g ≈ 9,8 m/${\mathrm{s}}^2$, thì độ cao y (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theo phương ngang x (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức

$y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$.

Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của đường parabol. Hãy xác định

a) Các hệ số a, b và c của hàm số bậc hai này;

b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được;

c) Giả sử vận tốc ban đầu v₀ không đổi. Từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném α để độ cao lớn nhất của vật đạt giá trị lớn nhất.

d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s và góc đá so với phương ngang là α = 45°. Khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng nào (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) ?

Lời giải:

a) Hàm số bậc hai $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$.

Khi đó, các hệ số của hàm số bậc hai là $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha <0$ (do g, v_0­², cos²α luôn dương), b = tanα, c = 0.

b)

Toạ độ đỉnh I(x_I; y_I) của đường parabol là

Vậy độ cao lớn nhất của vật là tung độ của đỉnh parabol là: $y_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$.

c)

Theo phần b, độ cao lớn nhất $y_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}\le \frac{v_0^2}{2g}$

Dấu “=” xảy ra khi

$\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2}{2g}$ ⇔ sin²α  = 1 ⇔ α = 90°

Như vậy góc ném α = 90°  thì độ cao lớn nhất của vật sẽ đạt giá trị lớn nhất.

d)

Ta có:

g = 9,8 m/s², v₀ = 20, α = 45°

Phương trình quỹ đạo của quả bóng là:

$$\begin{gathered} y=\left(\frac{-9,8}{{2.20}^2.{\cos }^{2}45°}\right)x^2+\left(\tan 45°\right)x \\ =-\frac{9,8}{400}{x}^2+x \end{gathered}$$

Quả bóng ở độ cao trên 5 m nghĩa là

$y=-\frac{9,8}{400}{x}^2+x>5$

⇔ 9,8x² – 400x + 2000 < 0

Xét tam thức f(x) = 9,8x² – 400x + 2 000 có:

a = 9,8 > 0

∆ = (–400)² – 4 . 9,8 . 2 000 = 81 600 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt: x₁ ≈ 34,98; x₂ ≈ 5,83

Do đó, 9,8x² – 400x + 2 000 < 0 ⇔ 5,83 < x < 34,98

Vậy khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng (5,83; 34,98) mét.

Bài 6.63 trang 27 SBT Toán 10 Tập 2: Một công ty kinh doanh máy tính cầm tay thấy rằng khi bán máy ở mức giá x (nghìn đồng) một chiếc thì số lượng máy bán được n cho bởi phương trình n = 1 200 000 – 1 200x.

a) Tìm công thức biểu diễn doanh thu R như là hàm số của đơn giá x. Tìm miền xác định của hàm số R = R(x).

b) Máy tính được bán ở đơn giá nào sẽ cho doanh thu lớn nhất ? Tính doanh thu lớn nhất và số máy tính bán được trong trường hợp đó.

c) Với đơn giá nào thì công ty sẽ đạt được doanh thu trên 200 tỉ đồng (làm tròn đến nghìn đồng) ?

Lời giải:

a)

Công thức biểu thị doanh thu R là:

R(x) = nx = (1 200 000 – 1 200x).x = –1 200x² + 1 200 000x.

Vì đơn giá và số lượng máy tính bán ra luôn không âm nên điều kiện để hàm số R = R(x) xác định là x ≥ 0  và n = 1 200 000 – 1 200x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 000, do đó x ≤ 0 ≤ 1 000.

Vậy tập xác định của hàm số R = R(x) là đoạn [0; 1000].

b)

Đồ thị hàm số R(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống do a = – 1 200 < 0.

Hàm số R = R(x) đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ của đỉnh parabol là: $x=-\frac{b}{2a}=500$ và giá trị lớn nhất của doanh thu bằng R(500) = 300 000 000.

Như vậy với đơn giá 500 nghìn đồng một chiếc thì công ty đạt doanh thu cao nhất là 300 tỉ đồng và khi đó số máy tính bán được là n = 1 200 000 – 1 200 . 500 = 600 000 chiếc.

c)

Doanh thu đạt trên 200 tỉ đồng nghĩa là

R(x) = –1 200x² + 1 200 000x > 200 000 000

⇔ 1200x² – 1 200 000x + 200 000 000 < 0.

Xét tam thức f(x) = 1 200x² – 1 200 000x + 200 000 000 có:

a = 1 200 > 0

∆’ = (–600 000)² – 1 200 . 200 000 000 = 120 000 000 000 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là: x₁ ≈ 788,68 ; x₂ ≈ 211,32

Do đó, 1 200x² – 1 200 000x + 200 000 000 < 0 ⇔ 211,32 < x < 788,68 hay 212 < x < 788.

Như vậy với đơn giá từ 212 nghìn đồng đến 788 nghìn đồng thì doanh thu của công ty đạt trên 200 tỉ đồng.