Giải sách bài tập Toán lớp 10 Ôn tập chương 8

Bài 8.18 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Có 5 nhà xe vận chuyển hành khách giữa Hà Nội và Hải Phòng. Số cách để một người đi từ Hà Nội tới Hải Phòng rồi sau đó quay lại Hà Nội bằng hai nhà xe khác nhau là

A. 5.

B. 10.

C. 15.

D. 20.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Từ Hà Nội tới Hải Phòng, một hành khách có 5 cách chọn nhà xe.

Để quay lại Hà Nội bằng một nhà xe khác thì hành khách có 5 – 1= 4 cách chọn.

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách đi là 5 . 4 = 20 (cách).

Bài 8.19 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Số các số tự nhiên chẵn có ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 là

A. 224.

B. 280.

C. 324.

D. Không số nào trong các số đó.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Một số có ba chữ số như vậy có dạng $\overline{abc}$ , với a, b, c khác nhau, được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 và c chỉ nhận một trong các giá trị 2; 4; 6; 8. Ta có thể xây dựng một số như vậy bằng cách trước hết chọn c, sau đó chọn ra hai chữ số có sắp thứ tự a, b từ các chữ số còn lại.

Có 4 cách chọn c là một trong các chữ số 2; 4; 6; 8.

Có 8 cách chọn a (bớt đi 1 số đã chọn bởi c).

Có 7 cách chọn b (bớt đi 1 số đã chọn bởi c, 1 số đã chọn bởi a).

Vì thế, theo quy tắc nhân, số các số có tính chất của bài toán là:

4 . 8 . 7 = 224 (số).

Bài 8.20 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Số các số tự nhiên trong khoảng từ 3 000 đến 4 000, chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 là

A. $C_4^2$ .

B. $A_4^2$ .

C. $A_5^2$ .

D. $C_6^4$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Một số tự nhiên nằm trong khoảng từ 3 000 đến 4 000 và chia hết cho 5 và có các chữ số được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 phải có chữ số hàng đơn vị là 5 và chữ số hàng nghìn là 3. Như vậy các số thoả mãn yêu cầu của bài toán có dạng $\overline{3ab5}$ , trong đó a, b là 2 chữ số khác nhau chọn trong các chữ số 1; 2; 4; 6 (có sắp xếp). Do đó, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là số các chỉnh hợp chập 2 của 4 và là: $A_4^2$ .

Bài 8.21 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Cho số nguyên dương n ≥ 4. Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Giá trị của n là

A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Mỗi tam giác cần đếm có 3 đỉnh là các điểm được đánh dấu.

Đảo lại, mỗi bộ ba điểm được đánh dấu xác định một tam giác.

Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 3 đỉnh đã chọn cho nhau thì tam giác tạo thành không thay đổi nên số các tam giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 3 của n và là: $C_n^3$ .

Mỗi tứ giác cần đếm có 4 đỉnh là các điểm được đánh dấu.

Đảo lại, mỗi bộ bốn điểm được đánh dấu xác định một tứ giác.

Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 4 đỉnh đã chọn cho nhau thì tứ giác tạo thành không thay đổi nên số các tứ giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 4 của n và là: $C_n^4$ .

Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Suy ra $C_n^3=C_n^4$ , nghĩa là

$$\begin{gathered} \frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n!}{4!(n-4)!} \\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)(n-3)!}{\mathrm{3.2.1.}(n-3)!}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)(n-4)!}{\mathrm{4.3.2.1.}(n-4)!} \\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{\mathrm{3.2.1}}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{\mathrm{4.3.2.1}} \\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{\mathrm{3.2.1}}-\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{\mathrm{4.3.2.1}}=0 \\ \iff n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(\frac{1}{6}-\frac{n-3}{24}\right)=0 \\ \iff n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(\frac{4-n+3}{24}\right)=0 \\ \iff n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(\frac{7-n}{24}\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}n=0\\ n=1\\ n=2\\ n=7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Mà n ≥ 4 nên chọn n = 7.

Bài 8.22 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Có 3 ứng viên cho 1 vị trí làm việc. Hội đồng tuyển dụng có 5 người, mỗi người bầu cho đúng 1 ứng viên. Số cách bầu của hội đồng là

A. $C_5^3$ .

B. 5³.

C. 3⁵.

D. Không số nào trong các số đó.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Mỗi thành viên của hội đồng có 3 cách bầu khác nhau.

Số thành viên của hội đồng là 5.

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách bầu là: 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3⁵.

Bài 8.23 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Tại một cuộc họp của học sinh các lớp 10A, 10B, 10C, 10D và 10E, ban tổ chức đề nghị đại diện của mỗi lớp trình bày một báo cáo. Bạn đại diện của lớp 10A đề nghị được trình bày báo cáo ngay trước đại diện của lớp 10B và được ban tổ chức đồng ý. Số cách xếp chương trình là:

A. 24.

B. 36.

C. 48.

D. 30.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Kí hiệu thứ tự các bài báo cáo là 1, 2, 3, 4, 5. Có 4 phương án xếp báo cáo của đại diện của lớp 10B ngay sau báo cáo đại diện của 10A là:

– Phương án 1: 10A báo cáo 1, 10B báo cáo 2;

– Phương án 2: 10A báo cáo 2, 10B báo cáo 3;

– Phương án 3: 10A báo cáo 3, 10B báo cáo 4;

– Phương án 4: 10A báo cáo 4, 10B báo cáo 5.

Đối với mỗi phương án, cách xếp thứ tự báo cáo của 10A và 10B là chỉ có 1 cách, ban tổ chức có thể xếp đại diện của các lớp 10C, 10D và 10E theo thứ tự bất kì vào vị trí các báo cáo còn lại.

Do đó, với mỗi phương án thì số cách xếp là: 1.1.3! = 3.2.1 = 6 (cách)

Như vậy, theo quy tắc cộng thì số cách xếp chương trình là: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 (cách).

Bài 8.24 trang 58 SBT Toán 10 Tập 2: Người ta muốn thành lập một uỷ ban gồm 6 thành viên, trong đó có ít nhất 3 thành viên nữ từ một nhóm đại biểu gồm 6 nam và 4 nữ. Số các cách thành lập uỷ ban như vậy là

A. 100.

B. 210.

C. 60.

D. 95.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Do chỉ có 4 đại biểu nữ nên có 2 phương án:

– Phương án 1: uỷ ban gồm 3 nữ và 3 nam;

– Phương án 2: uỷ ban gồm 4 nữ và 2 nam.

+) Đối với phướng án 1:

Số cách chọn ra 3 người từ 4 đại biểu nữ (không khác nhau) là:

$C_4^3=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{\mathrm{4.3.2.1}}{\mathrm{3.2.1.1}}=\frac{\mathrm{4.3.2}}{\mathrm{3.2.1}}=4$ (cách).

Số cách chọn ra 3 người từ 6 đại biểu nam (không khác nhau) là:

$C_6^3=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{\mathrm{6.5.4.3}!}{\mathrm{3.2.1.3}!}=\frac{\mathrm{6.5.4}}{\mathrm{3.2.1}}=20$ (cách).

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách chọn theo phương án 1 là:

4 . 20 = 80 (cách).

+) Đối với phương án 2: chỉ có duy nhất 1 cách chọn ra 4 người từ 4 đại biểu nữ (nghĩa là cả 4 đại biểu nữ sẽ nằm trong uỷ ban cần lập). Ngoài ra, số cách chọn ra 2 người từ 6 đại biểu nam (không khác nhau) là:

$C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{\mathrm{6.5.4}!}{\mathrm{2.1.4}!}=\frac{6.5}{2.1}=15$ (cách).

Do đó, có đúng 15 cách chọn theo phương án 2.

Từ đó, theo quy tắc cộng thì số các cách thành lập uỷ ban là:

80 + 15 = 95 (cách).

Bài 8.25 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Có 3 cặp vợ chồng mua 6 vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau trên cùng một hàng ghế. Số cách xếp chỗ ngồi sao cho mỗi cặp vợ chồng đều ngồi cạnh nhau là

A .24.

B. 36.

C. 48.

D. 120.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Trước hết, xét mỗi cặp vợ chồng như là một khối.

Số cách xếp 3 khối vào 3 vị trí là: 3! = 3 . 2 . 1 = 6.

Bây giờ, với mỗi cách xếp như vậy, mỗi cặp vợ chồng (của một khối) có thể đổi chỗ cho nhau để có một cách xếp mới. Số cách đổi chỗ mỗi cặp vợ chồng là: 2! = 2 . 1 = 2.

Như vậy, tổng số cách xếp chỗ cho 6 người với yêu cầu của bài toán là: 6 . 2 . 2 . 2 = 48 (cách).

Bài 8.26 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Tổng các hệ số của các đơn thức trong khai triển của (1 + x)⁴ bằng

A. 32.

B. 8.

C. 4.

D. 16.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Công thức khai triển của (1 + x)⁴ là:

${\left(1+x\right)}^4=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.x+C_4^2{.1}^2.x^2+C_4^3\mathrm{.1.}{x}^3+C_4^4.x^4$

= 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴

Do đó, tổng các hệ số của các đơn thức bằng: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.

Bài 8.27 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Giá trị của biểu thức ${\left(\sqrt{5}+1\right)}^5-{\left(\sqrt{5}-1\right)}^5$ bằng

A. 252.

B. 352.

C. 452.

D. 425.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ lần lượt cho $a=\sqrt{5}$  và b = 1, rồi cho $a=\sqrt{5}$ và b = –1, ta có

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{5}+1\right)}^5-{\left(\sqrt{5}-1\right)}^5 \\ =\left({\left(\sqrt{5}\right)}^5+5{\left(\sqrt{5}\right)}^4+10{\left(\sqrt{5}\right)}^3+10{\left(\sqrt{5}\right)}^2+5\sqrt{5}+1\right) \\ -\left({\left(\sqrt{5}\right)}^5-5{\left(\sqrt{5}\right)}^4+10{\left(\sqrt{5}\right)}^3-10{\left(\sqrt{5}\right)}^2+5\sqrt{5}-1\right) \\ =10.{\left(\sqrt{5}\right)}^4+20.{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2 \end{gathered}$$

= 10 . 25 + 20 . 5 + 2

= 352

Bài 8.28 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho đứng ngoài cùng bên trái và đứng ngoài cùng bên phải là các bạn nam ?

Lời giải:

Có tất cả 5 + 3 = 8 bạn học sinh.

Việc xếp 8 bạn học sinh thoả mãn yêu cầu bài toán có thể được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: chọn ra 2 bạn trong số 5 bạn nam để xếp vào hai vị trí ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải;

– Công đoạn 2: xếp 8 – 2 = 6 bạn còn lại vào các vị trí giữa hai bạn nam đã xếp.

Đối với công đoạn 1, số cách chọn ra hai người và xếp vào hai vị trí là:

$A_5^2=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{\mathrm{5.4.3}!}{3!}=5.4=20$ (cách).

Đối với công đoạn 2, số cách xếp 6 người vào 6 vị trí còn lại là:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 (cách)

Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp là: 20 . 720 = 14 400 (cách).

Bài 8.29 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Một phòng thi có 4 hàng bàn ghế, mỗi hàng có 5 bộ bàn ghế. Có 10 thí sinh nam và 10 thí sinh nữ được xếp vào phòng thi đó. Người ta muốn xếp các thí sinh, mỗi thí sinh ngồi một bàn, sao cho mỗi hàng chỉ xếp các thí sinh cùng giới tính và thí sinh ở hai hàng liên tiếp thì khác giới tính với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho các thí sinh ?

Lời giải:

Ta cần phải xếp chỗ cho các thí sinh nam vào 2 hàng và các thí sinh nữ vào 2 hàng, hơn nữa giới tính của các hàng là xen kẽ nhau. Như vậy, nếu đánh số các hàng từ trên xuống là 1, 2, 3 và 4 thì người ta có 2 phương án:

– Phương án 1: xếp các thí sinh nam vào các hàng 1 và 3 còn các học thí sinh nữ vào các hàng 2 và 4;

– Phương án 2: xếp các thí sinh nam vào các hàng 2 và 4 còn các thí sinh nữ vào các hàng 1 và 3.

+) Đối với phương án 1, người ta có thể tiến hành qua 2 công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 1 và 3;

– Công đoạn 2: xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 2 và 4.

Với công đoạn 1, người ta có thể xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì. Số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách).

Tương tự, với công đoạn 2, người ta có thể xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì và số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách).

Suy ra, theo quy tắc nhân, số cách xếp theo phương án 1 là:

10! . 10! = 3 628 800 . 3 628 800 = 13 168 189 440 000 (cách).

+) Đối với phương án 2, người ta có thể tiến hành qua 2 công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 2 và 4;

– Công đoạn 2: xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 1 và 3.

Với công đoạn 1, người ta có thể xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì. Số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách).

Tương tự, với công đoạn 2, người ta có thể xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì và số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách)

Tương tự, số cách sắp xếp theo phương án 2 cũng là:

10! . 10! = 3 628 800 . 3 628 800 = 13 168 189 440 000 (cách).

Như vậy, theo quy tắc cộng thì số các cách xếp là:

13 168 189 440 000 + 13 168 189 440 000 = 26 336 378 880 000 (cách).

Bài 8.30 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật để nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?

Lời giải:

5 con vật lớn nhất phải được nhốt vào các chuồng phù hợp với kích cỡ của chúng. Số chuồng như vậy là 10 – 3 = 7.

Để nhốt các con vật thì vị giám đốc có thể tiến hành qua 2 công đoạn như sau:

– Công đoạn 1: nhốt 5 con vật lớn nhất vào 5 trong 7 cái chuồng phù hợp với chúng;

– Công đoạn 2: nhốt 5 con vật còn lại vào 5 cái chuồng còn lại.

Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách lấy ra 5 phần tử có thứ tự từ một tập hợp có 7 phần tử, nghĩa là bằng

$A_7^5=\frac{7!}{(7-5)!}=\frac{\mathrm{7.6.5.4.3.2}!}{2!}==\mathrm{7.6.5.4.3}=2520$ (cách).

Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 5 phần tử, nghĩa là bằng:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 (cách)

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách nhốt là: 2 520 . 120 = 302 400 (cách).

Bài 8.31 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Một nhóm người gồm 3 bạn nam và 3 bạn nữ mua 6 chiếc vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau.

a) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau ?

Lời giải:

a)

Để tiện hình dung, ta đánh số các chiếc ghế từ trái qua phải 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Để các bạn nam, nữ ngồi xen kẽ thì có hai phương án:

– Phương án 1: các bạn nữ ngồi các ghế 1, 3 và 5, các bạn nam ngồi các ghế 2, 4 và 6;

– Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế 2, 4 và 6, các bạn nam ngồi các ghế 1, 3 và 5;

Ta hãy đếm số cách ngồi theo từng phương án. Với mỗi phương án, mỗi cách ngồi có được thực hiện qua 2 công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;

– Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.

Số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi chính là số hoán vị của 3, nghĩa là:

3! = 3.2.1 = 6 (cách).

Tương tự, số cách xếp chỗ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi là:

3! = 3.2.1 = 6 (cách).

Vì vậy, theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là:

6.6 = 36 (cách).

Như vậy, theo quy tắc cộng thì tổng số các cách xếp chỗ là:

36 + 36 = 72 (cách).

b)

Để xếp các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau, ta có 4 phương án:

– Phương án 1: các bạn nữ ngồi các ghế 1, 2 và 3;

– Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế 2, 3 và 4;

– Phương án 3: các bạn nữ ngồi các ghế 3, 4 và 5;

– Phương án 4: các bạn nữ ngồi các ghế 4, 5 và 6.

Với mỗi phương án, việc xếp chỗ cho nhóm bạn có thể được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;

– Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.

Tương tự như a), số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi và số cách xếp chỗ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi đều bằng 6.

Do đó, số cách xếp chỗ theo mỗi phương án đều là 36. Vì vậy, theo quy tắc cộng tổng số các cách ngồi là:

36 + 36 + 36 + 36 = 144 (cách).

Bài 8.32 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Trong phần ca nhạc tại một cuộc gặp mặt của một nhóm bạn, hai người bất kì hát song ca đúng một lần với nhau trong 2 phút. Thời gian hát song ca kể từ lúc bắt đầu đến lúc kết thúc (coi các cặp hát nối tiếp nhau liên tục) là 30 phút. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người ?

Lời giải:

Giả sử nhóm bạn gồm n người.

Số các cặp song ca chính là số các cách chọn ra 2 người từ n người đó (không sắp xếp thứ tự), nghĩa là bằng $C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{\mathrm{2.1.}(n-2)!}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$ .

Mỗi cặp song ca hát với nhau trong đúng 2 phút nên tổng thời gian hát, tính theo phút là:

$2.\frac{n\left(n-1\right)}{2}=n\left(n-1\right)$

Suy ra n(n – 1) = 30, hay (n + 5)(n – 6) = 0. Từ đó suy ra n = 6 hoặc n = –5.

Mà n là số tự nhiên lớn hơn 2 nên chọn n = 6.

Vậy, nhóm bạn có 6 người.

Bài 8.33 trang 60 SBT Toán 10 Tập 2: Trong hình sau đây, mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành 6 đoạn thẳng bằng nhau bởi 5 điểm nằm bên trong cùng với hai đầu mút. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các chấm điểm ở trong hình:

Lời giải:

Tổng số chấm điểm trong hình là 18.

Mỗi tam giác cần đếm được tạo ra bằng cách lấy ra 3 điểm không thẳng hàng. Để đếm số các tam giác ta lấy số các cách lấy ra 3 điểm từ 18 điểm trừ đi số các cách lấy ra 3 điểm thẳng hàng từ 18 điểm.

Số các cách chọn 3 điểm từ 18 điểm là:

$C_{18}^3=\frac{18!}{3!(18-3)!}=816$ (cách).

Ba điểm thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một cạnh. Số điểm của mỗi cạnh là 7. Do đó, số cách lấy ra 3 điểm trên mỗi cạnh là:

$C_7^3=\frac{7!}{3!(7-3)!}=35$ (cách).

Như vậy, theo quy tắc cộng thì số các cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng từ hình trên là:

35 + 35 + 35 = 105 (cách).

Suy ra số các tam giác cần tìm là:

816 – 105 = 711 (tam giác).

Bài 8.34 trang 60 SBT Toán 10 Tập 2: Hình sau đây được tạo thành từ hai họ đường thẳng vuông góc, mỗi họ gồm 6 đường thẳng song song.

Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau được tạo thành ?

Lời giải:

Trong hình đã cho, mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ giao điểm của 2 đường thẳng của họ các đường thẳng nằm ngang và 2 đường thẳng của họ các đường thẳng nằm dọc.

Số cách chọn ra 2 đường thẳng từ 6 đường thẳng nằm ngang là: $C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=15$ (cách).

Tương tự, số cách chọn ra 2 đường thẳng nằm dọc cũng là: $C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=15$  cách.

Vì vậy, theo quy tắc nhân thì số hình chữ nhật được tạo ra là: 15 . 15 = 225 (hình).

Bài 8.35 trang 60 SBT Toán 10 Tập 2:

a) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 4 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ “NGHI”?

b) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 6 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ “NGHIÊN”?

c) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 7 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ “NGHIÊNG”?

Lời giải:

a)

Từ “NGHI” có 4 chữ cái khác nhau là "N, G, H, I". Số cách sắp xếp chúng theo yêu cầu bằng số các hoán vị của 4 chữ cái, bằng: 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (dãy).

b)

Từ “NGHIÊN” có 6 chữ cái, trong đó có 2 chữ cái giống nhau là “N, N”.

Việc xếp các chữ cái “N, G, H, I, Ê, N” của từ “NGHIÊN” theo yêu cầu giống như việc bỏ các chữ cái “N,G, H, I, Ê, N” vào 6 hộp, mỗi hộp có 1 chữ cái:

Việc bỏ các chữ cái “N, G, H, I, Ê, N” vào 6 chiếc hộp có thể thực hiện qua 2 công đoạn.

– Công đoạn 1: chọn 2 chiếc hộp trong 6 chiếc hộp rồi bỏ 2 chữ cái N, N vào 2 chiếc hộp đó;

– Công đoạn 2: bỏ các chữ cái G, H, I, Ê vào 4 chiếc hộp còn lại;

Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số các cách chọn 2 hộp từ 6 hộp, do đó bằng:

$C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=15$ (cách)

Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 4 chữ cái, do đó bằng:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách) .

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số dãy kí tự được tạo thành là: 15 . 24 = 360 (dãy).

c)

Từ “NGHIÊNG” có 7 chữ cái: “N, G, H, I, Ê, N, G”, trong đó có các chữ cái giống nhau là “N, N” và “G, G”.

Việc xếp các chữ cái “N,G, H, I, Ê, N, G” của từ “NGHIÊNG” thành một dãy kí tự có 7 chữ cái giống như việc bỏ các chữ cái “N,G, H, I, Ê, N, G” vào 7 hộp (có thứ tự).

Việc bỏ các chữ cái “N, G, H, I, Ê, N, G” vào 7 cái hộp có thể thực hiện qua 2 công đoạn.

– Công đoạn 1: chọn 2 cái hộp trong 7 cái hộp rồi bỏ các chữ cái N, N vào 2 chiếc hộp đó;

– Công đoạn 2: chọn 2 cái hộp trong 5 cái hộp còn lại rồi bỏ các chữ cái G, G vào 2 chiếc hộp đó;

– Công đoạn 3: bỏ các chữ cái H, I, Ê vào 3 chiếc hộp còn lại.

Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách chọn 2 hộp từ 7 hộp, nghĩa là bằng:

$C_7^2=\frac{7!}{2!(7-2)!}=21$(cách).

Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số cách chọn 2 hộp từ 5 hộp, nghĩa là bằng:

$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10$(cách).

Số cách thực hiện công đoạn 3 bằng số các hoán vị của 3, nghĩa là bằng:

3! = 3 . 2 . 1 = 6 (cách).

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số dãy kí tự được tạo thành là:

21 . 10 . 6 = 1 260 (dãy).

Bài 8.36 trang 60 SBT Toán 10 Tập 2: Tính ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^5$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ lần lượt với $a=\sqrt{3}$  và $b=\sqrt{2}$ , rồi $a=\sqrt{3}$  và $b=-\sqrt{2}$, ta có

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^5 \\ =\left({\left(\sqrt{3}\right)}^5+5{\left(\sqrt{3}\right)}^4.\sqrt{2}+10{\left(\sqrt{3}\right)}^3.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+10{\left(\sqrt{3}\right)}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^3+5\sqrt{3}.{\left(\sqrt{2}\right)}^4+{\left(\sqrt{2}\right)}^5\right) \\ -\left({\left(\sqrt{3}\right)}^5-5{\left(\sqrt{3}\right)}^4.\sqrt{2}+10{\left(\sqrt{3}\right)}^3.{\left(\sqrt{2}\right)}^2-10{\left(\sqrt{3}\right)}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^3+5\sqrt{3}.{\left(\sqrt{2}\right)}^4-{\left(\sqrt{2}\right)}^5\right) \\ =10{\left(\sqrt{3}\right)}^4.\sqrt{2}+20{\left(\sqrt{3}\right)}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^3+2{\left(\sqrt{2}\right)}^5 \\ =\mathrm{10.9.}\sqrt{2}+\mathrm{20.3.2}\sqrt{2}+2.4\sqrt{2} \\ =218\sqrt{2} \end{gathered}$$

Bài 8.37 trang 60 SBT Toán 10 Tập 2: Giả sử hệ số của x trong khai triển của ${\left(x^2+\frac{r}{x}\right)}^5$ bằng 640. Xác định giá trị của r.

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ cho $a=x^2,b=\frac{r}{x}$  ta được:

$$\begin{gathered} {\left(x^2+\frac{r}{x}\right)}^5 \\ =C_5^0.{\left(x^2\right)}^5+C_5^1.{\left(x^2\right)}^4.\frac{r}{x}+C_5^2.{\left(x^2\right)}^3.{\left(\frac{r}{x}\right)}^2+C_5^3.{\left(x^2\right)}^2.{\left(\frac{r}{x}\right)}^3+C_5^4.x^2.{\left(\frac{r}{x}\right)}^4+C_5^5.{\left(\frac{r}{x}\right)}^5 \\ ={\left(x^2\right)}^5+5{\left(x^2\right)}^4.\frac{r}{x}+10{\left(x^2\right)}^3.{\left(\frac{r}{x}\right)}^2+10{\left(x^2\right)}^2.{\left(\frac{r}{x}\right)}^3+5x^2.{\left(\frac{r}{x}\right)}^4+{\left(\frac{r}{x}\right)}^5 \\ =x^{10}+5r{x}^7+10r^2{x}^4+10r^{3}x+\frac{5r^4}{x^2}+\frac{r^5}{x^5} \end{gathered}$$

Theo đề bài, ta có hệ số của x trong khai triển của ${\left(x^2+\frac{r}{x}\right)}^5$ bằng 640 nên:

10r³ = 640

⇔ r³ = 64

⇔ r = 4

Vậy r = 4 .