Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 25: Nhị thức Newton

Bài 8.13 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển các đa thức

a) (x – 2)⁴;

b) (x + 2)⁵; 

c) (2x + 3y)⁴; 

d) (2x – y)⁵. 

Lời giải:

a)

(x – 2)⁴ = [x + (– 2)⁴]

=$C_4^0.x^4+C_4^1.x^3.(-2)+C_4^2.x^2.{(-2)}^2+C_4^3.x.{(-2)}^3+C_4^4.{(-2)}^4$

= 1.x⁴ + 4.x³.(–2) + 6.x².4 + 4.x.(–8) + 1.16

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

b)

${(x+2)}^5=C_5^0.x^5+C_5^1.x^4.2+C_5^2.x^3{.2}^2+C_5^3.x^2{.2}^3+C_5^4.x{.2}^4+C_5^5{.2}^5$

= 1.x⁵ + 5.x^4­.2  + 10.x³.4 + 10.x².8 + 5.x.16 + 1.32

= x⁵ + 10x⁴ + 40x³ + 80x² + 80x + 32.

c)

(2x + 3y)⁴

=$C_4^0.{\left(2x\right)}^4+C_4^1.{\left(2x\right)}^3.3y+C_4^2.{\left(2x\right)}^2.{\left(3y\right)}^2+C_4^3.2x.{\left(3y\right)}^3+C_4^4.{\left(3y\right)}^4$

= 1.16x⁴ + 4.8x³.3y + 6.4x².9y² + 4.2x.27y³  + 1.81y⁴

= 16x⁴ + 96x³y + 216x²y^2­ + 216xy³ + 81y⁴.

d)

(2x – y)⁵ = [2x + (– y)⁵]

$=C_5^0.{\left(2x\right)}^5+C_5^1.{\left(2x\right)}^4.(-y)+C_5^2.{\left(2x\right)}^3.{(-y)}^2+C_5^3.{\left(2x\right)}^2.{(-y)}^3+C_5^4.2x.{(-y)}^4+C_5^5.{(-y)}^5$

= 1.32x⁵ + 5.16x^4­.(–y)  + 10.8x³.y² + 10.4x².(–y)³ + 5.2x.y⁴ + 1.(–y)⁵ 

= 32x⁵ – 80x⁴y + 80x³y² – 40x²y³ + 10xy⁴ – y⁵.

Bài 8.14 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Trong khai triển của (5x – 2)⁵, số mũ của x được sắp xếp theo luỹ thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai.

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ với a = 5x, b = –2, ta có:

(5x – 2)⁵

=$C_5^0.{\left(5x\right)}^5+C_5^1.{\left(5x\right)}^4.(-2)+C_5^2.{\left(5x\right)}^3.{(-2)}^2+C_5^3.{\left(5x\right)}^2.{(-2)}^3+C_5^4.5x.{(-2)}^4+C_5^5.{(-2)}^5$

= 1 . 3 125x⁵ + 5 . 625x^4­.(–2)  + 10 . 125x³.4 + 10 . 25x².(–8) + 5 . 5x.16 + 1.(–32)

= 3 125x⁵ – 6 250x⁴ + 5 000x³ – 2 000x² + 400x – 32

= – 32 + 400x – 2 000x² + 5 000x³ – 6 250x⁴ + 3 125x⁵

Vậy, số hạng thứ hai trong khai triển theo số mũ tăng dần của x là 400x.

Bài 8.15 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Hãy sử dụng ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,03)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,03⁴. Xác định sai số tuyệt đối.

Lời giải:

Ta có:

1,03⁴ = (1 + 0,03)⁴  = 1⁴ + 4.1³.0,03 + 6.1^2­­.(0,03)² + …

= 1 + 0,12 + 0,0054 + … ≈ 1,1254

Mặt khác, ta tính được giá trị đúng, chẳng hạn bằng máy tính,

1,03⁴ = 1,12550881.

Như vậy, sai số tuyệt đối của của giá trị gần đúng nhận được so với giá trị đúng là:

|1,1254 – 1,12550881| = 0,00010881.

Bài 8.16 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^4$ .

Lời giải:

Ta có:

${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^4$

$$\begin{gathered} =C_4^0.x^4+C_4^1.x^3.\frac{2}{x}+C_4^2.x^2.{\left(\frac{2}{x}\right)}^2+C_4^3.x.{\left(\frac{2}{x}\right)}^3+C_4^4.{\left(\frac{2}{x}\right)}^4 \\ =x^4+4x^3.\frac{2}{x}+6x^2.{\left(\frac{2}{x}\right)}^2+4x.{\left(\frac{2}{x}\right)}^3+{\left(\frac{2}{x}\right)}^4 \\ =x^4+8x^2+24+\frac{32}{x^2}+\frac{16}{x^4} \end{gathered}$$

Vậy, hạng tử không chứa x là 24.

Bài 8.17 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển ${\left(z^2+1+\frac{1}{z}\right)}^4$.

Lời giải:

Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của (a + b)⁴ với a = z² + 1 và $b=\frac{1}{z}$ .

Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴, (a + b)³, (a + b)² với a = z², b = 1 để có:

${\left(z^2+1\right)}^4=C_4^0.{\left(z^2\right)}^4+C_4^1.{\left(z^2\right)}^3.1+C_4^2.{\left(z^2\right)}^2{.1}^2+C_4^3.z^2{.1}^3+C_4^4{.1}^4$

= z⁸ + 4z⁶ + 6z⁴ + 4z² + 1

${\left(z^2+1\right)}^3=C_3^0.{\left(z^2\right)}^3+C_3^1.{\left(z^2\right)}^2.1+C_3^2.z^2{.1}^2+C_3^3{.1}^3$

= z⁶ + 3z⁴ + 3z² + 1

(z² + 1)² = z⁴ + 2z² + 1

Vậy ta có:

$$\begin{gathered} {\left(z^2+1+\frac{1}{z}\right)}^4={\left[\left(z^2+1\right)+\frac{1}{z}\right]}^4 \\ =C_4^0.{\left(z^2+1\right)}^4+C_4^1{\left(z^2+1\right)}^3\frac{1}{z}+C_4^2{\left(z^2+1\right)}^2\frac{1}{z^2}+C_4^3\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+C_4^4\frac{1}{z^4} \\ ={\left(z^2+1\right)}^4+4{\left(z^2+1\right)}^3\frac{1}{z}+6{\left(z^2+1\right)}^2\frac{1}{z^2}+4\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4} \\ =\left(z^8+4z^6+6z^4+4z^2+1\right)+4\left(z^6+3z^4+3z^2+1\right)\frac{1}{z} \\ +6\left(z^4+2z^2+1\right)\frac{1}{z^2}+4\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4} \\ =z^8+4z^6+4z^5+6z^4+12z^3+10z^2+12z+13+\frac{8}{z}+\frac{6}{z^2}+\frac{4}{z^3}+\frac{1}{z^4} \end{gathered}$$