Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.16 trang 12 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?A. 6 + x = 4$x^2$.

B. a < 2.

C. 123 là số nguyên tố phải không?

D. Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

“6 + x = 4x²” và “a < 2” là hai mệnh đề chứa biến, ta chưa khẳng định được tính đúng sai của chúng.

“123 là số nguyên tố phải không?” là câu hỏi nên không phải mệnh đề.

“Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam” là mệnh đề sai do Bắc Giang là một tỉnh thuộc miền Bắc Việt Nam.

Bài 1.17 trang 12 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. ∅ = {0}.

B. ∅ $\subset$ {0}.

C. {0} $\subset$ ∅.

D. 0 $\subset$ ∅.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Bài 1.18 trang 12 SBT Toán 10 Tập 1: Phủ định của mệnh đề “5 + 8 = 13” là mệnh đề

A. 5 + 8 < 13.

B. 5 + 8 ≥ 13.

C. 5 + 8 > 13.

D. 5 + 8 ≠ 13.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Phủ định của “=” là ≠.

Bài 1.19 trang 12 SBT Toán 10 Tập 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỷ không âm.

B. Nếu a là số hữu tỷ không âm thì a là số tự nhiên.

C. Nếu a là số hữu tỷ dương thì a là số tự nhiên.

D. Nếu a không là số tự nhiên thì a không phải số hữu tỉ không âm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Các số hữu tỷ không âm là các số hữu tỷ lớn hơn hoặc bằng 0.

Các số tự nhiên là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 0.

Các số nguyên có thể biểu diễn thành các số hữu tỷ nên nên các tự nhiên là các số hữu tỷ không âm.

Bài 1.20 trang 12 SBT Toán 10 Tập 1: Cho x là một phần tử của tập hợp X. Xét các mệnh đề sau:

(I) x X;

(II) {x} X;

(III) x X;

(IV) {x} X.

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

A. (I) và (II).

B. (I) và (III).

C. (I) và (IV).

D. (II) và (IV).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Khi x là một phần tử của tập hợp X thì x $\in$ X và {x} $\subset$ X.

Bài 1.21 trang 12 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba tập hợp sau:

E = {x $\in$ ℝ | f(x) = 0};

F = {x $\in$ ℝ | g(x) = 0};

H = {x $\in$ ℝ | f(x) . g(x) = 0};

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. H = E ∩ F.

B. H = E ∪ F.

C. H = E \ F.

D. H = F \ E.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) . g(x) = 0 nên f(x) = 0 hoặc g(x) = 0.

Do đó H = E ∪ F.

Bài 1.22 trang 12 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp X = {n $\in$ ℕ | n là bội của 2 và 3}, Y = {n$\in$ ℕ | n là bội của 6}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Y $\subset$ X.

B. X $\subset$ Y.

C. $\exists$n: n $\in$ X và n $\notin$ Y.

D. X = Y.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có n $\in$ ℕ, n là bội của 2 và 3, mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên n là bội của 2 . 3 hay n là bội của 6.

Do đó X = Y, suy ra Y $\subset$ X đúng và X $\subset$ Y đúng. Từ đó đáp án C sai.

Bài 1.23 trang 13 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

A. M = {x $\in$ ℕ | x² - 16 = 0}.

B. N = {x $\in$ ℝ | x² + 2x + 5 = 0}.

C. P = {x $\in$ ℝ | x² - 15 = 0}.

D. Q = {x $\in$ ℝ | x² + 3x - 4 = 0}.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4.

(x + 1)² ≥ 0 ∀x $\in$ ℝ suy ra (x + 1)² + 4 > 0 ∀x $\in$ ℝ.

Do đó không tồn tại x $\in$ ℝ để x² + 2x + 5 = 0.

Bài 1.24 trang 13 SBT Toán 10 Tập 1: Lớp 10A có 10 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Vật lí, 8 học sinh giỏi cả môn Toán và Vật lí. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán hoặc Vật lí) của lớp 10A là

A. 17.

B. 25.

C. 18.

D. 23.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Tổng số học sinh giỏi Toán hoặc Vật lí là: 10 + 15 = 25 (học sinh).

Trong 25 học sinh trên thì có 8 học sinh giỏi cả môn Toán và Vật lí nên số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán hoặc Vật lí) của lớp 10A là: 25 - 8 = 17 (học sinh).

Bài 1.25 trang 13 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp M = {x$\in$ ℤ | x2 - 3x - 4 = 0} và N = {a; -1}. Với giá trị nào của a thì M = N?

A. a = 2.

B. a = 4.

C. a = 3.

D. a = -1 hoặc a = 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có x² - 3x - 4 = 0

$\Rightarrow$ x² - 4x + x - 4 = 0

$\Rightarrow$ x(x - 4) + (x - 4) = 0

$\Rightarrow$ (x - 4)(x + 1) = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x-4=0\\ x+1=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-1\end{array}\right.$

Do N đã có phần tử -1 nên a = 4 thì M = N.

Bài 1.26 trang 13 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. ℕ $\subset$ [0; +$\infty$).

B. {-2; 3} $\subset$ [-2; 3].

C. [3; 7] = {3; 4; 5; 6; 7}.

D. ∅ $\subset$ ℚ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

[3; 7] là tập hợp các số thực lớn hơn hoặc bằng 3 và nhỏ hơn hoặc bằng 7.

Mà 3; 4; 5; 6; 7 chỉ là các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 và nhỏ hơn hoặc bằng 7.

Bài 1.27 trang 13 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp A = (-; -1] và B = (-2; 4]. Tìm mệnh đề sai.

A. A ∩ B = (-2; -1].

B. A \ B = (-$\infty$; -2).

C. A ∪ B = (-$\infty$; 4].

D. B \ A = (-1; 4].

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

A \ B = (-$\infty$; -1] \ (-2; 4] = (-$\infty$; -2] ∪ (-2; -1] \ (-2; 4) = (-$\infty$; -2].

Bài 1.28 trang 13 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Tam giác ABC là tam giác đều $\iff$ Tam giác ABC cân.

B. Tam giác ABC là tam giác đều $\iff$ Tam giác ABC có ba góc bằng 60°.

C. Tam giác ABC là tam giác đều $\iff$ Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau.

D. Tam giác ABC là tam giác đều $\iff$ Tam giác ABC cân và có một góc 60°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác đều $\Rightarrow$ Tam giác ABC cân” là một mệnh đề đúng, tuy nhiên mệnh đề “Tam giác ABC cân $\Rightarrow$ Tam giác ABC đều” là một mệnh đề sai nên mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác đều $\iff$ Tam giác ABC cân” là một mệnh đề sai.

Bài 1.29 trang 13 SBT Toán 10 Tập 1: Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Số 12 chia hết cho 4 và 3 là”

A. Số 12 chia hết cho 4 hoặc chia hết cho 3.

B. Số 12 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 3.

C. Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3.

D. Số 12 không chia hết cho 4 và chia hết cho 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phủ định của “chia hết” là “không chia hết”; phủ định của “và” là “hoặc”.

Bài 1.30 trang 13, 14 SBT Toán 10 Tập 1: Mệnh đề “∃x $\in$ ℝ, x2 = 15” được phát biểu là

A. Bình phương của mỗi số thực bằng 15.

B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 15.

C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 15.

D. Nếu x là một số thực thì x² = 15.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề “∃x $\in$ ℝ, x² = 15” là “tồn tại số thực sao cho bình phương của nó bằng 15” hay “có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 15”.

Bài 1.31 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Với mọi số thực x, nếu x < -2 thì x² > 4.

B. Với mọi số thực x, nếu x² < 4 thì x < -2.

C. Với mọi số thực x, nếu x < -2 thì x² < 4.

D. Với mọi số thực x, nếu x² > 4 thì x > -2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có với mọi số thực x, nếu x < -2 thì x + 2 < 0 và x - 2 < -4 < 0.

Suy ra (x - 2)(x + 2) > 0 hay x² - 4 > 0.

Do đó x² > 4.

Bài 1.32 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$x^2$ + 3x + 1 > 0, với mọi x $\in$ ℝ” là

A. Tồn tại x $\in$ ℝ sao cho x² + 3x + 1 > 0.

B. Tồn tại x $\in$ ℝ sao cho x² + 3x + 1 ≤ 0.

C. Tồn tại x $\in$ ℝ sao cho x² + 3x + 1 = 0.

D. Tồn tại x $\in$ ℝ sao cho x² + 3x + 1 < 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Phủ định của “với mọi” là “tồn tại”; phủ định của “>” là “≤”.

Bài 1.33 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Mọi số tự nhiên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10;

b) Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn 0;

c) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Lời giải:

a) Các số chia hết cho 10 thì có tận cùng bằng 0 nên mệnh đề “Mọi số tự nhiên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10” là mệnh đề đúng.

b) Ta có 0² = 0 nên mệnh đề “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn 0” là mệnh đề sai.

c) Theo quy ước ta có tập rỗng là tập con của mọi tập hợp nên mệnh đề “Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp” là mệnh đề đúng.

Bài 1.34 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp sau: 

A = {x $\in$ ℕ | -4 ≤ x ≤ -1};

B = {x $\in$ ℤ | -1 ≤ x ≤ 3}.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Tập hợp A là tập rỗng;

b) Tập hợp B là tập con của ℝ.

Lời giải:

a) Số tự nhiên là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 0 nên không có số tự nhiên nào nhỏ hơn 0.

Do đó mệnh đề “Tập hợp A là tập rỗng” là mệnh đề đúng.

b) Tập hợp B là tập hợp gồm các số nguyên có giá trị lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 3 nên tập hợp B là tập con của ℤ.

Mà ℤ là tập con của ℝ nên mệnh đề “Tập hợp B là tập con của ℝ” là mệnh đề đúng.

Bài 1.35 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Điền Đ vào ô trống nếu mệnh đề đúng, điền S vào ô trống nếu mệnh đề sai.

a) 3,274 $\in$ ℚ $\boxed{}$  ;

b) ℕ $\subset$ ℚ $\boxed{}$  ;

c) $\sqrt{2}$  $\in$ ℝ $\boxed{}$  ;

d) $\frac{3}{4}$ $\in$ ℤ $\boxed{}$  .

Lời giải:

a) 3,274 = $\frac{3274}{1000}$  với 3274; 1000 $\in$ ℤ và 1000 ≠ 0 nên $\frac{3274}{1000}$ $\in$ ℚ.

Do đó 3,274 $\in$ ℚ $\boxed{Đ}$  .

b) Các số tự nhiên có thể được biểu diễn thành các số hữu tỉ nên ℕ $\subset$ ℚ $\boxed{Đ}$  .

c) $\sqrt{2}$  là một số vô tỷ.

Các số vô tỷ là các số thực nên $\sqrt{2}$ $\in$ ℝ $\boxed{Đ}$ .

d) $\frac{3}{4}$ không phải là một số nguyên nên $\frac{3}{4}$ $\in$ ℤ $\boxed{S}$  .

Bài 1.36 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Hãy viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.

A = {x $\in$ ℚ | (2x + 1)(x² + x - 1)(2x² - 3x + 1) = 0};

B = {x $\in$ ℕ | x² > 2 và x < 4}.

Lời giải:

Xét tập A = {x $\in$ ℚ | (2x + 1)(x² + x - 1)(2x² - 3x + 1) = 0}

(2x + 1)(x² + x - 1)(2x² - 3x + 1) = 0

Trường hợp 1.

2x + 1 = 0

$\iff$ 2x = -1

$\iff$ x =$\frac{-1}{2}\in \mathbb{Q}$

Trường hợp 2.

x² + x - 1 = 0

D = 1² - 4.(-1) = 5 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\notin \mathbb{Q}$  (do $-1-\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$);

x₂ = $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\notin \mathbb{Q}$  (do $-1+\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$);

Trường hợp 3.

2x² - 3x + 1 = 0

$\iff$ 2x² - 2x - x + 1 = 0

$\iff$ 2x(x - 1) - (x - 1) = 0

$\iff$ (x - 1)(2x - 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ 2\text{x}-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \mathbb{Q}\\ x=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}\end{array}\right.$

Vậy A =$\left\{\frac{-1}{2};\frac{1}{2};1\right\}.$

Xét tập B = {x $\in$ ℕ | x² > 2 và x < 4}

Vì x $\in$ ℕ và x < 4 nên x $\in$ {0; 1; 2; 3}.

Ta có 0² = 0 < 2; 1² = 1 < 2; 2² = 4 > 2; 3² = 9 > 2.

Do đó B = {2; 3}.

Bài 1.37 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp sau:

A = {x $\in$ ℝ | |x| ≤ 4}; B = {x $\in$ ℝ | -3 < x ≤ 8}.

a) Viết hai tập hợp trên dưới dạng khoảng, đoạn.

b) Xác định các tập hợp sau: A ∩ B; A \ B; B \ A.

Lời giải:

a) Xét tập A = {x $\in$ ℝ | |x| ≤ 4}

|x| ≤ 4 $\iff$ -4 ≤ x ≤ 4.

Do đó A= [-4; 4].

Xét tập B = {x $\in$ ℝ | -3 < x ≤ 8}

Do đó B = (-3; 8].

b) Ta có:

A ∩ B = (-3; 4];

A \ B = [-4; 4] \ (-3; 8] = [-4; -3] ∪ (-3; 4] \ (-3; 8] = [-4; -3].

B \ A = (-3; 8] \ [-4; 4] = (-3; 4] ∪ (4; 8] \ [-4; 4] = (4; 8].

Vậy A \ B = [-4; -3] và B \ A = (4; 8].

Bài 1.38 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp A = [a; 5] và B = [-2; 3], với a < 5. Số a cần thỏa mãn điều kiện gì để A ∩ B = ∅?

Lời giải:

Để A ∩ B = ∅ thì a > 3.

Mà a < 5 nên 3 < a < 5.

Vậy 3 < a < 5.

Bài 1.39 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các tập hợp sau:

A = {x | x là số nguyên tố và 20 ≤ x ≤ 30};

B = {x | x là bội của 18 và 20 ≤ x ≤ 30}.

C là tập hợp các nghiệm nguyên dương của phương trình x³ - 52x² + 667x = 0.

Hãy điền Đ vào ô trống nếu mệnh đề đúng, điền S vào ô trống nếu mệnh đề sai.

a) 25 $\in$ A $\boxed{}$;

b) A $\subset$ B $\boxed{}$;

c) A = C $\boxed{}$.

Lời giải:

Các số nguyên tố nằm trong đoạn [20; 30] là: 23; 29 nên A = {23; 29}.

Các số trong đoạn [20; 30] không có số nào chia hết cho 18 nên tập B là tập rỗng.

Do đó B = ∅.

Xét x³ - 52x² + 667x = 0

$\iff$ x(x² - 52x + 667) = 0

$\iff$ x(x² - 29x - 23x + 667) = 0

$\iff$ x[x(x - 29) - 23(x - 29)] = 0

$\iff$ x(x - 29)(x - 23) = 0

Trường hợp 1.

x = 0 (loại do x là số nguyên dương).

Trường hợp 2.

x - 29 = 0

$\iff$ x = 29 (thỏa mãn).

Trường hợp 3.

x - 23 = 0

$\iff$ x = 23 (thỏa mãn).

Do đó C = {23; 29}.

a) Ta thấy 25 không phải số nguyên tố nên 25 $\in$ A $\boxed{S}$.

b) Tập A là tập hợp gồm có 2 phần tử, tập B là tập rỗng nên A $\subset$ B $\boxed{S}$ .

c) A = {23; 29} và C = {23; 29} nên A = C $\boxed{Đ}$ .

Bài 1.40 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Lớp 10A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích môn Ngữ văn, 18 học sinh thích môn Toán, 4 học sinh thích cả hai môn Ngữ văn và Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ văn và Toán?

Lời giải:

Trong 20 học sinh thích môn Ngữ Văn thì có 4 học sinh thích cả môn Ngữ văn và Toán.

Trong 18 học sinh thích môn Toán thì có 4 học sinh thích cả môn Ngữ văn và Toán.

Do đó số học sinh thích môn Ngữ văn hoặc Toán là: 20 + 18 - 4 = 34 (học sinh).

Số học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ văn và Toán là:

40 - 34 = 6 (học sinh).

Vậy có 6 học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ văn và Toán.

Bài 1.41 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Thống kê tại một trung tâm mua sắm gồm 46 cửa hàng, với 26 cửa hàng có bán quần áo, 16 cửa hàng có bán giày và 34 cửa hàng bán ít nhất một trong hai mặt hàng này. Hỏi:

a) Có bao nhiêu cửa hàng bán cả quần áo và giày?

b) Có bao nhiêu cửa hàng chỉ bán một trong hai loại quần áo hoặc giày?

c) Có bao nhiêu cửa hàng không bán cả hai loại hàng hóa trên?

Lời giải:

Ta biểu diễn bằng biểu đồ Ven như dưới đây:

Những cửa hàng bán quần áo được đại diện bởi hình elip “Quần áo”.

Những cửa hàng bán giày được đại diện bởi hình elip “Giày”.

Phần giao của hình elip “Quần áo” và elip “Giày” là những cửa hàng bán cả quần áo và giày.

Hình elip lớn nhất đại diện cho tổng số cửa hàng tại trung tâm mua sắm, phần nằm bên ngoài 2 elip “Quần áo”, “Giày” và bên trong elip lớn đại diện cho những cửa hàng không bán cả quần áo và giày.

a) Gọi x là số cửa hàng bán cả quần áo và giày (x $\in$ ℕ*).

Trong 26 cửa hàng bán quần áo có x cửa hàng bán cả quần áo và giày, trong 16 cửa hàng bán giày có x cửa hàng bán quần áo và giày.

Khi đó số cửa hàng chỉ bán quần áo là 26 - x (cửa hàng).

Số cửa hàng chỉ bán giày là 16 - x (cửa hàng).

Do đó số cửa hàng bán ít nhất 1 trong 2 mặt hàng quần áo và giày là:

(26 - x) + x + (16 - x) = 42 - x.

Theo đề bài ta có 42 - x = 34 suy ra x = 8 (thỏa mãn).

Vậy có 8 cửa hàng bán cả quần áo và giày.

b) Số cửa hàng chỉ bán quần áo là 26 - 8 = 18 (cửa hàng).

Số cửa hàng chỉ bán giày là 16 - 8 = 8 (cửa hàng).

Số cửa hàng chỉ bán một trong hai loại quần áo hoặc giày là 18 + 8 = 26 (cửa hàng).

Vậy có 26 cửa hàng hoặc bán quần áo hoặc bán giày.

c) Số cửa hàng không bán hai mặt hàng trên bằng tổng số cửa hàng trong trung tâm mua sắm trừ đi số cửa hàng bán ít nhất một trong hai mặt hàng.

Do đó số cửa hàng không bán hai mặt hàng trên là 46 - 34 = 12 (cửa hàng).

Vậy có 12 cửa hàng không bán hai mặt hàng trên.