Chứng minh bằng quy nạp:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{...}+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ (1).

Có bao nhiêu số nguyên là tổng của ba phần tử phân biệt của tập hợp {1; 4; 7; 10; 13; 16; 19}.

Hình chữ nhật dưới đây được cắt thành 7 hình vuông. Biết chu vi của hình chữ nhật là 160 cm, tính diện tích của hình vuông lớn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ACB}=30°$ . Tia phân giác của $\widehat{ABC}$  cắt cạnh AC tại M. Lấy K trên cạnh BC sao cho BK = BA.

a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác KBM.

Một cái thùng hình hộp chữ nhật có chiều dài 12dm, chiều rộng 9dm, chiều cao 6dm. Người ta xếp vào đó các khối hình lập phương bằng nhau, sao cho vừa đầy khít thùng. Tính số khối lập phương có thể xếp được như vậy.

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Điểm E thuộc OC, nối AE cắt (O) tại M.

a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp.

Số nguyên tố nhỏ hơn 1000000 là số bao nhiêu ?

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

Một người bán gà lần thứ nhất bán $\frac{4}{9}$  số gà lần thứ 2 bán $\frac{3}{5}$  số gà còn lại, như thế, lần thứ nhất bán nhiều hơn lần thứ hai 4 con. Hỏi người đó bán tất cả bao nhiêu con gà ?

Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10.

a) A= 98 × 96 × 94 × 92 – 91 × 93 × 95 × 97.

Số hạng tiếp theo của dãy số sau: 2, 3, 5, 9, 17..., là ?

3. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

Nếu tăng chiều dài hình chữ nhật thêm 10% và giảm chiều rộng đi 10% thì diện tích của hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào ?

d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME. Chứng minh khi E di chuyển trên OC thì I thuộc một đường thẳng cố định.

Cho dãy số: 2; 6; 12; 20;.... Tìm số hạng tiếp theo của dãy.