Cho x, y, z > 0 và x3 + y3 + z3 = 1. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {1 - {z^2}} }} \ge 2\].
Giải bởi Vietjack
Theo BĐT cô-si ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{{x^3}}}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }} \ge \frac{{{x^3}}}{{\frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{2}}} = 2{x^3}\)
Chứng minh tương tự: \(\frac{{{y^2}}}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} \ge 2{y^3}\); \(\frac{{{z^2}}}{{\sqrt {1 - {z^2}} }} \ge 2{z^3}\).
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có:
\(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {1 - {z^2}} }} \ge 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) = 2\) (đpcm)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:
a) Bốn quả lấy ra cùng màu;
b) Có ít nhất một quả màu trắng.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, với đường tròn (O) (A là tiếp điểm). Qua C thuộc tia Ax, vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB). Từ O vẽ OH vuông góc với đoạn thẳng DE tại H.
a) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp.
b) Chứng minh: AC.AE = AD.CE.
c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh: AM // BN.
Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x2 + 2 dư 2x − 1, chia cho x2 + x dư 16x − 11. Tính P(100).
Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(z.\overline z = 1\) là
Xác định hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c biết đồ thị của nó có đỉnh I(−1; −2).
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:
a) Tứ giác ABHM nội tiếp.
b) OA.OB = OH.OM = R2.
c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.
Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 – (m2 – 2m)x + 2020. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AB và AE = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Chứng minh:
a) \[\Delta ABC = \Delta ADE\].
b) DE = BC và DE // BC.
c) \[\Delta AEN = \Delta ACM\].
d) M, A, N thẳng hàng.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt d tại E và cắt đường thẳng OC tại D. Gọi F là giao điểm của BD và d. Tiếp tuyến tại B cắt ED tại K. Chứng minh BK = EF.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là:
Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x3 + 2(m + 1)x2 – 3mx + m – 5 có hai điểm cực trị x1, x2 đồng thời y(x1).y(x2) = 0 là
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.
a) Tứ giác BFCH là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm H; M; F thẳng hàng.
c) Chứng minh \(OM = \frac{1}{2}AH.\)
Cho hàm số y = mx3 – mx2 – (m +4)x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ.
Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.
Tìm điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m.
