Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).

Lời giải

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên \(\left\{ \begin{array}{l}a + b - c > 0\\b + c - a > 0\\c + a - b > 0\end{array} \right.\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

⦁ \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{4}{{2b}} = \frac{2}{b}\);

⦁ \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{4}{{2a}} = \frac{2}{a}\);

⦁ \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{4}{{2c}} = \frac{2}{c}\).

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:

\(2.\left( {\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}}} \right) \ge \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 2.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c.

Vậy ta có điều phải chứng minh.