Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: E là điểm đối xứng với B qua C
Suy ra C là trung điểm của BE nên BC = EC
Xét tứ giác ACED ta có:
AD // EC (AD // BC)
AD = CE (= BC)
Suy ra ACED là hình bình hành.
b) Xét ∆ABM và ∆FCM ta có:
\[\widehat {ABM} = \widehat {FCM} = 90^\circ \]
MB = MC (gt)
\(\widehat {AMB} = \widehat {CMF}\) (Hai góc đối đỉnh)
Þ ∆ABM = ∆FCM (g.c.g)
Þ AB = CF (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = DC (gt) Þ DC =F
Xét tứ giác BDEF ta có:
BE ^ DF
BE Ç DF = C
C là trung điểm của BE và DF
Þ BDEF là hình thoi
c) Gọi AC Ç BD = H; AI Ç BD = O
Ta có: ACED là hình bình hành
Mà AE Ç CD = I
Þ I là trung điểm của CD
Lại có O là trung điểm của AC
Þ H là trực tâm của ∆ACD
\( \Rightarrow \frac{{IH}}{{AI}} = \frac{1}{3}\)
Mà I là trung điểm của AE \( \Rightarrow AI = \frac{1}{2}AE \Rightarrow IH = \frac{1}{6}AE\)
Ta có: BDEF là hình thoi
Þ DF là tia phân giác của \(\widehat {BDE}\) (tính chất hình thoi)
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {CDE}\)
Ta có BDEF là hình thoi
Þ BD = DE (hai cạnh bên)
Xét ∆BDI và ∆EDI ta có:
DI chung
\(\widehat {IDB} = \widehat {IDE}\) (cmt)
BD = DE (cmt)
Þ ∆BDI = ∆EDI (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {DBI} = \widehat {DEI}\) (hai góc tương ứng)
Và IE = IB (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆HBI và ∆KEI ta có:
\(\widehat {HBI} = \widehat {KEI}\) (cmt)
IE = IB (cmt)
\(\widehat {HIB} = \widehat {KIE}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆HBI = ∆KEI (g.c.g)
Suy ra HI = IK (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(IK = \frac{1}{6}AE\) (đpcm)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Một kho gạo có 246,75 tấn gạo người ta chuyển đi \(\frac{4}{5}\) số gạo của kho. Hỏi kho còn lại bao nhiêu ki lô gam gạo?
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ^ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Cho 4 điểm A(1; 2) và B(−1; 4); C(2; 2); D(−3; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.
Cho x + y + z = 0. Rút gọn: \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\).
Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi cho hình thang ABCD quay quanh trục AD.
Cho hình bình hành ABCD có \[\widehat A = \;\alpha \; > \;90^\circ \]. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF, ABE. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
