Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: E là điểm đối xứng với B qua C
Suy ra C là trung điểm của BE nên BC = EC
Xét tứ giác ACED ta có:
AD // EC (AD // BC)
AD = CE (= BC)
Suy ra ACED là hình bình hành.
b) Xét ∆ABM và ∆FCM ta có:
\[\widehat {ABM} = \widehat {FCM} = 90^\circ \]
MB = MC (gt)
\(\widehat {AMB} = \widehat {CMF}\) (Hai góc đối đỉnh)
Þ ∆ABM = ∆FCM (g.c.g)
Þ AB = CF (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = DC (gt) Þ DC =F
Xét tứ giác BDEF ta có:
BE ^ DF
BE Ç DF = C
C là trung điểm của BE và DF
Þ BDEF là hình thoi
c) Gọi AC Ç BD = H; AI Ç BD = O
Ta có: ACED là hình bình hành
Mà AE Ç CD = I
Þ I là trung điểm của CD
Lại có O là trung điểm của AC
Þ H là trực tâm của ∆ACD
\( \Rightarrow \frac{{IH}}{{AI}} = \frac{1}{3}\)
Mà I là trung điểm của AE \( \Rightarrow AI = \frac{1}{2}AE \Rightarrow IH = \frac{1}{6}AE\)
Ta có: BDEF là hình thoi
Þ DF là tia phân giác của \(\widehat {BDE}\) (tính chất hình thoi)
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {CDE}\)
Ta có BDEF là hình thoi
Þ BD = DE (hai cạnh bên)
Xét ∆BDI và ∆EDI ta có:
DI chung
\(\widehat {IDB} = \widehat {IDE}\) (cmt)
BD = DE (cmt)
Þ ∆BDI = ∆EDI (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {DBI} = \widehat {DEI}\) (hai góc tương ứng)
Và IE = IB (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆HBI và ∆KEI ta có:
\(\widehat {HBI} = \widehat {KEI}\) (cmt)
IE = IB (cmt)
\(\widehat {HIB} = \widehat {KIE}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆HBI = ∆KEI (g.c.g)
Suy ra HI = IK (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(IK = \frac{1}{6}AE\) (đpcm)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3); C(2; 7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.
Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.
Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC\,.\,BD\,.\,\sin \alpha \).
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 6a, AD = 3a, CD = 3a. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = a. Tính \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} \).
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|\), I là trung điểm BC.
