Thứ sáu, 04/04/2025
IMG-LOGO

Câu hỏi:

17/07/2024 116

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.

b) Chứng minh: ME // BN.

c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

 Xem lời giải

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M (ảnh 1)

a) Xét ∆OEB và ∆OMC

Vi ABCD là hình vuông nên ta có: OB = OC

\[\widehat B = \widehat C = 45^\circ \]

BE = CM (gt)

Þ ∆OEB = ∆OMC (c.g.c)

Þ OE = OM và \({\widehat O_1} = {\widehat O_3}\)

Lại có: \({\widehat O_1} + {\widehat O_2} = \widehat {BOC} = 90^\circ \) vì tứ giác ABCD là hình vuông

\({\widehat O_1} + {\widehat O_2} = \widehat {EOM} = 90^\circ \) kết hợp với OE = OM

Þ ∆OEM vuông cân tại O.

b) Tứ giác ABCD là hình vuông Þ AB = CD và AB // CD

AB // CD Þ AB // CN \( \Rightarrow \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{BM}}{{MC}}\) (Theo định lý Ta-lét) (*)

Mà BE = CM (gt) và AB = CD Þ AE = BM thay vào (*)

Ta có: \[\frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AE}}{{EB}} \Rightarrow ME\;{\rm{//}}\;BN\] (theo định lý đảo Ta-lét)

c) Gọi H¢ là giao điểm của OM và BN

Từ ME // BN \[ \Rightarrow \widehat {OME} = \widehat {OH'E}\] (Cặp góc ở vị trí so le trong)

\[\widehat {OME} = 45^\circ \] vì ∆OME vuông cân tại O

\( \Rightarrow \widehat {MH'B} = 45^\circ = \widehat {{C_1}}\)

Þ ∆OMC = ∆BMH¢ (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{OM}}{{OB}} = \frac{{MH'}}{{MC}}\), kết hợp \( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {CMH'}\) (hai góc đối đỉnh)

Þ ∆OMB = ∆CMH¢ (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {OBM} = \widehat {MH'C} = 45^\circ \)

Vậy \(\widehat {BH'C} + \widehat {BH'M} + \widehat {MH'C} = 90^\circ \Rightarrow CH' \bot BN\)

Mà CH ^ BN (H Î BN) Þ H = H¢ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm).

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.

Xem đáp án » 03/04/2024 111

Câu 2:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

Xem đáp án » 03/04/2024 82

Câu 3:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|\), I là trung điểm BC.

Xem đáp án » 03/04/2024 79

Câu 4:

Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.

Xem đáp án » 03/04/2024 78

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3); C(2; 7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

Xem đáp án » 03/04/2024 77

Câu 6:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính  \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).

Xem đáp án » 03/04/2024 77

Câu 7:

Giải phương trình:

a) sin 5x + sin 8x + sin 3x = 0;

b) \(4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x\).

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 8:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC

a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.

b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 9:

Tính A = cos2 10° + cos2 20° + ... + cos2 70° + cos2 80°.

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 10:

Cho 4 điểm A(1; 2) và B(−1; 4); C(2; 2); D(−3; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 11:

Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.

a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

b) Chứng minh AC = DE.

c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.

d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 12:

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 13:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.

Xem đáp án » 04/04/2024 74

Câu 14:

Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)

Xem đáp án » 03/04/2024 73

Câu 15:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu

Xem đáp án » 03/04/2024 73

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »