Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
a) Xét ∆OEB và ∆OMC
Vi ABCD là hình vuông nên ta có: OB = OC
Và \[\widehat B = \widehat C = 45^\circ \]
BE = CM (gt)
Þ ∆OEB = ∆OMC (c.g.c)
Þ OE = OM và \({\widehat O_1} = {\widehat O_3}\)
Lại có: \({\widehat O_1} + {\widehat O_2} = \widehat {BOC} = 90^\circ \) vì tứ giác ABCD là hình vuông
\({\widehat O_1} + {\widehat O_2} = \widehat {EOM} = 90^\circ \) kết hợp với OE = OM
Þ ∆OEM vuông cân tại O.
b) Tứ giác ABCD là hình vuông Þ AB = CD và AB // CD
AB // CD Þ AB // CN \( \Rightarrow \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{BM}}{{MC}}\) (Theo định lý Ta-lét) (*)
Mà BE = CM (gt) và AB = CD Þ AE = BM thay vào (*)
Ta có: \[\frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AE}}{{EB}} \Rightarrow ME\;{\rm{//}}\;BN\] (theo định lý đảo Ta-lét)
c) Gọi H¢ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN \[ \Rightarrow \widehat {OME} = \widehat {OH'E}\] (Cặp góc ở vị trí so le trong)
Mà \[\widehat {OME} = 45^\circ \] vì ∆OME vuông cân tại O
\( \Rightarrow \widehat {MH'B} = 45^\circ = \widehat {{C_1}}\)
Þ ∆OMC = ∆BMH¢ (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{OM}}{{OB}} = \frac{{MH'}}{{MC}}\), kết hợp \( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {CMH'}\) (hai góc đối đỉnh)
Þ ∆OMB = ∆CMH¢ (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {OBM} = \widehat {MH'C} = 45^\circ \)
Vậy \(\widehat {BH'C} + \widehat {BH'M} + \widehat {MH'C} = 90^\circ \Rightarrow CH' \bot BN\)
Mà CH ^ BN (H Î BN) Þ H = H¢ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3); C(2; 7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.
Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.
Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC\,.\,BD\,.\,\sin \alpha \).
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 6a, AD = 3a, CD = 3a. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = a. Tính \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} \).
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|\), I là trung điểm BC.
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.
a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
b) Chứng minh AC = DE.
c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.
d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
