Chứng minh rằng mọi hàm số f(x) có tập xác định đối xứng, đều có thể viết dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right]\] với mọi x ∈ D.
Đặt \[{f_1}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]\], \[{f_2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right]\] với mọi x ∈ D.
Khi đó \[{f_1}\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) + f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right] = {f_1}\left( x \right)\] với mọi x ∈ D.
\[{f_2}\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) - f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)} \right] = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] = - {f_2}\left( x \right)\] với mọi x ∈ D.
Vậy f1(x) là hàm số chẵn, f2(x) là hàm số lẻ.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a . Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60° .Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD theo a.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\] (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Hạ AH vuông góc BC tại H. Trên nửa mp bờ BC chứa A dựng 2 nửa đường tròn đường kính HB, HC chúng lần lượt cắt AB, AC tại E và F. Chứng minh AE.AB = AF.AC.\[\]
Cho tứ giác ABCD có hai góc đối ở đỉnh B và D cùng bằng 90°. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau mà số đó nhất thiết có mặt các chữ số 1, 2, 5?
Nêu mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của mệnh đề sau:
A: “Với mọi n ∈ ℕ*, (1 + 2 + .... + n) không chia hết cho 11”.
Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℝ | 1≤ |x| ≤ 2}; B = (–∞; m – 2] ∪ [m; +∞).
Tìm tất cả các giá trị của m để A ⊂ B.
Tính giá trị lớn nhất của diện tích một tam giác biết 3 trong 2 cạnh của nó là 5 và 8.
Thu gọn biểu thức: \(\frac{{x{}^6 - {y^6}}}{{{x^4} - {y^4} - {x^3}y + x{y^3}}}\).
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa hai chữ số của số đó thì được một số có ba chữ số, gấp 9 lần số ban đầu. Tìm số đã cho.
Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ (M ∈ OP), IN // OP (N ∈ OQ). Chứng minh rằng:
a) Tam giác IMN cân tại I.
b) OI là đường trung trực của MN.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3.
