Cho hàm số y=f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên R. Gọi $D_1$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), các đường x = 0, x = 1 và trục Ox. Gọi $D_2$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}f\left(x\right)$, các đường x = 0, x = 1 và trục Ox. Quay các hình phẳng $D_1$,$D_2$ quanh trục Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_1, V_2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Tìm thể tích V của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn $x^2+(y-3{)}^2=4$ khi quay quanh trục Ox

Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn [−3;3] là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ

Tính ${\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)dx$

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-x^2}$ $\left(-\sqrt{6}\le x\le \sqrt{6}\right)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=-x^2+2x$ và y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là:

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_1 , A_2 , B_1, B_2$ như  hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là $200.000đồng/m^2$ và phần còn lại là $100.000đồng/m^2$. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết $A_1{A}_2 = 8m, B_1{B}_2 = 6m$ và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m?

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường (E): $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ quay quanh Oy?

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{2-x}; y=x$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?

Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích $S_1, S_3$ dùng để trồng hoa, phần diện tích$S_2, S_4$ dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là $150.000 đồng/ m^2$, kinh phí trồng cỏ là $100.000 đồng/m^2$. Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).

Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình $x^2+(y-2{)}^2=1$ khi quanh trục Ox

Cho hàm số $y=x^4-3x^2+m$ có đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành, $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành. Biết rằng $S_1 = S_2$. Giá trị của m là

Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là $16y^2=x^2(25-x^2)$ như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = - 2, mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện $S\left(x\right)=2x^2$. Thể tích của V được tính bởi:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $4y=x^2$ và y = x. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục hoành một vòng bằng:

Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln4, biết khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x (0≤x≤ln4)$\left(0\le x\le \ln 4\right)$, ta được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là: $\sqrt{x.e^x}$