23 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Ứng dụng của tích phân-P3 (có đáp án)

Câu 1:

Tính thể tích V của một vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $y = x^{2}; y = \sqrt{x}$ (H) giới hạn bởi các đường quanh trục Ox

A. $V = \frac{7 π}{10}$

B. $V = \frac{9 π}{10}$

C. $V = \frac{3 π}{10}$

D. $V = \frac{π}{10}$

Xem đáp án

Câu 2:

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{2 - x}; y = x$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?

A. $V = π \int_{0}^{2} (2 - x) dx + π \int_{0}^{2} x^{2} dx$

B. $V = π \int_{0}^{2} (2 - x) dx$

C. $V = π \int_{0}^{1} x d x + π \int_{1}^{2} \sqrt{2 - x} dx$

D. $V = \int_{0}^{1} x^{2} dx + π \int_{1}^{2} (2 - x) dx$

Xem đáp án

Câu 3:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $4 y = x^{2}$ và y = x. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục hoành một vòng bằng:

A. $\frac{128}{30} π$

B. $\frac{128}{15} π$

C. $\frac{32}{15} π$

D. $\frac{129}{30} π$

Xem đáp án

Câu 4:

Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=a và x=b (a<b), mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện S(x). Thể tích của V được tính bởi:

A. $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$

B. $V = π \int_{a}^{b} S (x) d x$

C. $V = \int_{a}^{b} S^{2} (x) d x$

D. $V = π \int_{a}^{b} S^{2} (x) d x$

Xem đáp án

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x = a, x = b biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục Ox là S=S(x)

Công thức tính: $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = - 2, mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện $S (x) = 2 x^{2}$ . Thể tích của V được tính bởi:

A. $V = \int_{- 2}^{0} 4 x^{4} d x$

B. $V = \int_{0}^{- 2} 2 x^{2} d x$

C. $V = \int_{- 2}^{0} 2 x^{2} d x$

D. $V = π \int_{- 2}^{0} 4 x^{4} d x$

Xem đáp án

Câu 6:

Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln4, biết khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x $(0 \leq x \leq \ln 4)$ , ta được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là: $\sqrt{x . e^{x}}$

A. $V = \int_{0}^{\ln 4} x e^{x} d x$

B. $V = π \int_{0}^{\ln 4} x e^{x} d x$

C. $V = π \int_{0}^{\ln 4} {(x e^{x})}^{2} d x$

D. $V = \int_{0}^{\ln 4} \sqrt{x e^{x}} d x$

Xem đáp án

Câu 7:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = - x^{2} + 2 x$ và y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là:

A. $V = \frac{7}{3} π$

B. $V = \frac{8}{3} π$

C. $V = \frac{10}{3} π$

D. $V = \frac{16}{3} π$

Xem đáp án

Câu 8:

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường (E): $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ quay quanh Oy?

A. $V = 36 π$

B. $V = 24 π$

C. $V = 14 π$

D. $V = 64 π$

Xem đáp án

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi $(H_{1})$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x^{2}}{4}; y = - \frac{x^{2}}{4}; x = 4; x = - 4$ và $(H_{2})$ là hình gồm tất cả các điểm (x;y) thỏa mãn $x^{2} + y^{2} \leq 16, x^{2} + {(y - 2)}^{2} \geq 4; x^{2} + {(y + 2)}^{2} \geq 4$

Cho $(H_{1})$ và $(H_{2})$ quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích là $V_{1}, V_{2}$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $V_{1} = \frac{1}{2} V_{2}$

B. $V_{1} = V_{2}$

C. $V_{1} = \frac{2}{3} V_{2}$

D. $V_{1} = 2 V_{2}$

Xem đáp án

Câu 10:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y = - \sqrt{4 - x^{2}}, x^{2} + 3 y = 0$ quay quanh trục Ox là $V = \frac{a π \sqrt{3}}{b}$ với a, b > 0 và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng T = a + b

A. 33

B. 31

C. 29

D. 27

Xem đáp án

Câu 11:

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{6 - x^{2}}$ $(- \sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6})$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.

A. $V = 8 π \sqrt{6} - 2 π$

B. $V = 8 π \sqrt{6} + \frac{22 π}{3}$

C. $V = 8 π \sqrt{6} - \frac{22 π}{3}$

D. $V = 4 π \sqrt{6} + \frac{22 π}{3}$

Xem đáp án

Câu 12:

Gọi $(D_{1})$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2 \sqrt{x}, y = 0, x = 2020$ , $(D_{2})$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{3} x, y = 0, x = 2020$ . Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(D_{1})$ và $(D_{2})$ xung quanh trục Ox. Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng:

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Câu 13:

Cho hàm số y=f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên R. Gọi $D_{1}$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), các đường x = 0, x = 1 và trục Ox. Gọi $D_{2}$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} f (x)$ , các đường x = 0, x = 1 và trục Ox. Quay các hình phẳng $D_{1}$ , $D_{2}$ quanh trục Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_{1}, V_{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $V_{1} = 9 V_{2}$

B. $V_{2} = 9 V_{1}$

C. $V_{1} = 3 V_{2}$

D. $V_{2} = 3 V_{1}$

Xem đáp án

Câu 14:

Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ khi quanh trục Ox

A. $V = 6 π^{2}$

B. $V = 4 π^{2}$

C. $V = 2 π^{2}$

D. $V = 8 π^{2}$

Xem đáp án

Câu 15:

Tìm thể tích V của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn $x^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ khi quay quanh trục Ox

A. $V = 24 π^{2}$

B. $V = 24 π$

C. $V = 16 π$

D. $V = 36 π^{2}$

Xem đáp án

Câu 16:

Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là $16 y^{2} = x^{2} (25 - x^{2})$ như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

A. $S = \frac{125}{6} (m^{2})$

B. $S = \frac{125}{4} (m^{2})$

C. $S = \frac{250}{3} (m^{2})$

D. $S = \frac{125}{3} (m^{2})$

Xem đáp án

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x = 0; x = 5; x = −5

Ta thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau.

Xét diện tích SS mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có

Câu 17:

Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích $S_{1}, S_{3}$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_{2}, S_{4}$ dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là $150.000 đ ồ n g / m^{2}$ , kinh phí trồng cỏ là $100.000 đ ồ n g / m^{2}$ . Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).

A. 3.000.000 đồng

B. 6.060.000 đồng

C. 3.270.000 đồng

D. 5.790.000 đồng

Xem đáp án

Câu 18:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ (a=1) có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua A (−1; 0) , tiếp tuyến d tại A của (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x = −1; x = 0 có diện tích bằng

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{2}{9}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Câu 19:

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + m$ có đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành, $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành. Biết rằng $S_{1} = S_{2}$ . Giá trị của m là

A. 1

B. 2

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{5}{4}$

Xem đáp án

Câu 20:

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A. $\frac{800}{3} c m^{2}$

B. $\frac{400}{3} c m^{2}$

C. $250 c m^{2}$

D. $800 c m^{2}$

Xem đáp án

Câu 21:

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là $200.000 đ ồ n g / m^{2}$ và phần còn lại là $100.000 đ ồ n g / m^{2}$ . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết $A_{1} A_{2} = 8 m, B_{1} B_{2} = 6 m$ và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m?

A. 7.322.000 đồng

B. 7.213.000 đồng

C. 5.526.000 đồng

D. 5.782.000 đồng

Xem đáp án

Câu 22:

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $(d) : y = m x + 2 .$ Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó