Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và điểm M(4;2;1). Khi đó điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P) là:

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz  vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}$.

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ không đồng

phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

$\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}\mathrm{ }+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$.

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\overrightarrow{a}$, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) sao cho $\overrightarrow{a}=a_1.\overrightarrow{i}+a_2.\overrightarrow{j}+a_3.\overrightarrow{k}$.

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto  đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước $\overrightarrow{a}$ và viết $\overrightarrow{a}$ = (a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\overrightarrow{a}$(a₁; a₂ ; a₃).

 - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$.

Ta có: M(x; y; z) $\iff \overrightarrow{OM}(x;y;z)$

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto        

- Định lí:  Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

$\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}\mathrm{ }=(b_1;b_2;b_3),k\in R$, ta có:

a) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)$

b) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)$;

c) $k\overrightarrow{a}=(k{a}_1;k{a}_2;k{a}_3)$.

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{u}(2;-3;\mathrm{\hspace{0.17em}4});\overrightarrow{v}(\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4};-2;0)$

a) Tính $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$;

b) $2\overrightarrow{v}$;

c) $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4};-3-2;\mathrm{\hspace{0.17em}4}+0)=(6;-5;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4})$ ;

b) Ta có: $2\overrightarrow{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$ = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}\mathrm{ }=(b_1;b_2;b_3)$, ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \{\begin{array}{c}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}$.

b) Vecto $\overrightarrow{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\overrightarrow{a}\mathrm{ }=k\overrightarrow{b}(k\in R)$

$\iff \{\begin{array}{c}{a}_1=k{b}_1\\ a_2=k{b}_2\\ a_3=k{b}_3\end{array}\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3},(b_1,b_2,b_3\ne 0)$

d) Cho $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B)$

+ $\overrightarrow{AB}\mathrm{ }=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$        

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: $M(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})$

Ví dụ 2. Cho $\overrightarrow{u}(2m;\mathrm{\hspace{0.17em}3};-1);\overrightarrow{v}(4;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3};n-2)$. Tìm m và n để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) $\overrightarrow{u}(\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2};3;7);\overrightarrow{v}(-4;-6;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}14})$;

b) $\overrightarrow{a}(\mathrm{\hspace{0.17em}1};\mathrm{\hspace{0.17em}0};\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2});\overrightarrow{b}(-3;0;-6)$.

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{-4}=\frac{3}{-6}\ne \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính  $\overrightarrow{AB}$;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b)  Tọa độ trung điểm M của AB là:

$\{\begin{array}{c}{x}_M=\frac{-3+(-1)}{2}=-2\\ y_M=\frac{4+\mathrm{\hspace{0.17em}0}}{2}=2\\ z_M=\frac{0+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}}{2}=\mathrm{\hspace{0.17em}4}\end{array}\Rightarrow M(-2;2;4)$

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}\mathrm{ }=(b_1;b_2;b_3)$ được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$

Ví dụ 5. Cho $\overrightarrow{a}(1;-3;4);\overrightarrow{b}(1;2;1)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$?

Lời giải:

Ta có:  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ =  1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3)$.

Ta biết rằng: ${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2={\overrightarrow{a}}^2$ hay $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2}$. Do đó, $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của

vecto $\overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có:

$AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2+{(z_B-z_A)}^2}$.

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu $\phi$ là góc góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ với $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

 Từ đó, suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

 $\begin{array}{c}AB=\sqrt{{(2-2)}^2+{(1-3)}^2+{(0-1)}^2}=\sqrt{5} \\ AC=\sqrt{{(0-2)}^2+{(-1-3)}^2+{(2-1)}^2}=\sqrt{21}\end{array}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}(0;-2;-1);\overrightarrow{AC}(-2;-4;1)$

Cosin của góc A là:

$\cos A=\cos (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\frac{0.(-2)+(-2).(-4)+(-1).1}{\sqrt{5}.\sqrt{21}}=\frac{7}{\sqrt{105}}$

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x²  + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x²  + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}$.

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x²  + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x²  + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có:  a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính $R=22+(-1)2+ 02 Đề thi liên quan Xem thêm » Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải 3 đề 5596 lượt thi Thi thử 250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 10 đề 5425 lượt thi Thi thử Bài tập tắc nghiệm ứng dụng đạo hàm - Toán 12 có đáp án 7 đề 4630 lượt thi Thi thử Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao 11 đề 4205 lượt thi Thi thử Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải 5 đề 2869 lượt thi Thi thử 200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian NC (có đáp án) 9 đề 2658 lượt thi Thi thử Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án 6 đề 2427 lượt thi Thi thử 70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản 6 đề 2383 lượt thi Thi thử 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (có đáp án) 6 đề 2355 lượt thi Thi thử Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án 3 đề 2347 lượt thi Thi thử Xem thêm » Hỏi bài Câu hỏi mới nhất Xem thêm » Rô bốt có hai cái cốc loại 250 ml và 400 ml. Chỉ dùng hai cái cốc đó, làm thế nào để rô bốt lấy được 100 ml nước từ chậu nước. 68 05/04/2024 Xem đáp án Một mảnh vườn hình vuông cạnh 20 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m thuộc đất của vườn. Phần đất còn lại dùng để trồng trọt. Tính diện tích trồng trọt của mảnh vườn. 39 05/04/2024 Xem đáp án Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? 46 05/04/2024 Xem đáp án Từ các số 0; 1; 2; 7; 8; 9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau? 96 05/04/2024 Xem đáp án Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? 42 05/04/2024 Xem đáp án Tìm m để 3 đường thẳng y = −5(x + 1), y = mx + 3, y = 3x + m phân biệt và đồng quy. 42 05/04/2024 Xem đáp án Trung bình mỗi con gà ăn hết 102 g thức ăn trong một ngày. Hỏi trại nuôi gà đó cần bao nhiêu ki-lô-gam thức ăn cho 350 con gà trong 30 ngày? 29 05/04/2024 Xem đáp án Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có dạng \(\overline {abcdef} \). Từ tập hợp X lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số lấy ra là số lẻ và thỏa mãn a < b < c < d < e < f. 69 05/04/2024 Xem đáp án Cho tứ diện (ABCD) có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 7a, AD = 8a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. Tính thể tích khối tứ diện AMNP. 31 05/04/2024 Xem đáp án Tìm tập xác định của hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3 - x} ,x \in ( - \infty ;0)\\\sqrt {\frac{1}{x}} ,x \in (0; + \infty )\end{array} \right.\). 30 05/04/2024 Xem đáp án Xem thêm » $