Có bao nhiêu cặp số thực \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: \[{7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| - {{\log }_7}5}} = {5^{ - \left( {y + 2} \right)}}\] và \[2\left| {y - 2} \right| - \left| y \right| + {y^2} - y \le 7\]?
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Xét phương trình: \[2\left| {y - 2} \right| - \left| y \right| + {y^2} - y \le 7\;\;\;\left( 1 \right)\]
TH1: \[y < 0,\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2y + 4 + y + {y^2} - y - 7 \le 0 \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le y \le 3 \Rightarrow - 1 \le y < 0.\]
TH2: \[0 \le y < 2,\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2y + 4 - y + {y^2} - y - 7 \le 0 \Leftrightarrow {y^2} - 4y - 3 \le 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt 7 \le y \le 2 + \sqrt 7 \Rightarrow 0 \le y < 2.\]
TH3: \[y \ge 2,\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2y - 4 - y + {y^2} - y - 7 \le 0 \Leftrightarrow {y^2} - 11 \le 0 \Leftrightarrow - \sqrt {11} \le y \le \sqrt {11} \Rightarrow 2 \le y \le \sqrt {11} .\]
Vậy nghiệm của (1) là \[ - 1 \le y \le \sqrt {11} \].
Ta có \[{7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| - {{\log }_7}5}} = {5^{ - \left( {y + 2} \right)}} \Leftrightarrow {7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|}}{.5^{ - 1}} = {5^{ - \left( {y + 2} \right)}} \Leftrightarrow {7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|}} = {5^{ - \left( {y + 1} \right)}}\;\;\;\left( * \right)\].
Do \[y \ge - 1 \Rightarrow - \left( {y + 1} \right) \le 0 \Rightarrow {5^{ - \left( {y + 1} \right)}} \le 1,{7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|}} \ge {7^0} = 1\] nên (*) xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 0\\ - \left( {y + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\].
Vậy có 2 cặp số thực \[\left( {x;y} \right)\] thỏa yêu cầu bài toán.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t'\\z = 3 + t'\end{array} \right.\]. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa \[{d_1}\] và \[{d_2}\] là:
Hệ số của số hạng chứa \[{x^7}\] trong khai triển nhị thức \[{\left( {x - \frac{2}{{x\sqrt x }}} \right)^{12}}\] (với \[x > 0\]) là:
Một lớp có 19 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác tham gia một hoạt động của Đoàn trường. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn \[\left[ { - 2019;2019} \right]\] để hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]?
Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0\] là phương trình của một mặt cầu?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số \[g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) + 4{f^2}\left( x \right) + 1\] là:
Trong không gian Oxyz, cho \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \], điểm \[B\left( {3; - 4;1} \right)\] và điểm \[C\left( {2;0; - 1} \right)\]. Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:
Cho tập A có 26 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với trọng tâm tam giác ABC. Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\], tính \[\sin \varphi \] biết rằng \[SB = a\].
Kí hiệu \[{z_1}\] và \[{z_2}\] là hai nghiệm phức của phương trình \[{z^2} + z + 1 = 0\]. Tính \[P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}\].
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \[{9.6^{f\left( x \right)}} + \left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){.9^{f\left( x \right)}} \le \left( { - {m^2} + 5m} \right){.4^{f\left( x \right)}}\] đúng \[\forall x \in \mathbb{R}\] là:
Cho a là số thực dương khác 5. Tính \[I = {\log _{\frac{a}{5}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{{125}}} \right)\].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 4y + 6z - 1 = 0\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có một vectơ pháp tuyến là:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 2 \right) = - 2;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 1\]. Tính tích phân \[I = \int\limits_{ - 1}^3 {f'\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} \].
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. Mặt phẳng \[\left( {AEF} \right)\] cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi \[{V_1}\] là thể tích khối chứa điểm A’ và \[{V_2}\] là thể tích khối chứa điểm C’. Khi đó \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\] là:
