Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²

b) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2-7x-2$

c) y = x⁴ - 2x² + 3

d) y = -x³ + x² – 5

a) Tập xác định : D = R

y' = 3 – 2x

y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2 ; + ∞).

b) Tập xác định : D = R

y' = x² + 6x - 7

y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞); nghịch biến trong khoảng (-7; 1).

c) Tập xác định: D = R

y'= 4x³ – 4x.

y' = 0 ⇔ 4x³ – 4x = 0 ⇔ 4x.(x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và (1; +∞).

d) Tập xác định: D = R

y'= -3x² + 2x

y' = 0 ⇔ -3x² + 2x = 0 ⇔ x.(-3x + 2) = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3).

Kiến thức áp dụng

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định .

Bước 2: Tính đạo hàm y’. Tìm các giá trị của x để f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Lưu ý: Dấu của f’(x) trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’(x) tại một điểm x₀ bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x₀ bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’(x₀) dương hay âm.

Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.