Giải SGK Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
-
534 lượt thi
-
8 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2] và các hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞).
Xem đáp án
- Hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2]:
Các khoảng tăng: [(-π)/2,0], [π, 3π/2].
Các khoảng giảm: [0, π ],.
- Hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞)
Khoảng tăng: [0, +∞)
Khoảng giảm (-∞, 0].
Câu 3:
Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ?
Xem đáp án
Xét hàm số y = x3 có đạo hàm y’ = 3x2 ≥ 0 với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên toàn bộ R. Vậy khẳng định ngược lại với định lý trên chưa chắc đúng hay nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương (âm) trên đó.
Câu 4:
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) y = 4 + 3x – x2
b)
c) y = x4 - 2x2 + 3
d) y = -x3 + x2 – 5
Xem đáp án
a) Tập xác định : D = R
y' = 3 – 2x
y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2 ; + ∞).
b) Tập xác định : D = R
y' = x2 + 6x - 7
y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞); nghịch biến trong khoảng (-7; 1).
c) Tập xác định: D = R
y'= 4x3 – 4x.
y' = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x.(x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ 
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và (1; +∞).
d) Tập xác định: D = R
y'= -3x2 + 2x
y' = 0 ⇔ -3x2 + 2x = 0 ⇔ x.(-3x + 2) = 0 ⇔ 
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3).
Kiến thức áp dụng
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x).
Bước 1: Tìm tập xác định .
Bước 2: Tính đạo hàm y’. Tìm các giá trị của x để f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Lưu ý: Dấu của f’(x) trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’(x) tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’(x0) dương hay âm.
Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Câu 5:
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Xem đáp án
a) Tập xác định: D = R \ {1}
y' không xác định tại x = 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).
b) Tập xác định: D = R \ {1}
y’ < 0 với ∀ x ∈ D (vì –x2 + 2x – 2 < 0).
y' không xác định tại x = 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞)
c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)
y' không xác định tại x = -4 và x = 5
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -4); đồng biến trong khoảng (5; +∞).
d) Tập xác định: D = R \ {±3}
Vì x2 ≥ 0 ∀ x ⇒ x2 + 9 > 0 ∀ x ⇔ -2(x2 + 9) < 0
Mà (x2-9)2 > 0 ∀ x ∈ D
Suy ra: y’ < 0 với ∀ x ∈ D.
y' không xác định tại x = ±3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -3); ( -3; 3) và (3; +∞ ).
Kiến thức áp dụng
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x).
Bước 1: Tìm tập xác định .
Bước 2: Tính đạo hàm y’. Tìm các giá trị của x để f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Lưu ý: Dấu của f’(x) trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’(x) tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’(x0) dương hay âm.
Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Câu 6:
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Xem đáp án
TXĐ: D = R
+ Hàm số nghịch biến
⇔ y’ < 0
⇔ 1 – x2 < 0
⇔ x2 > 1
⇔ x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).
+ Hàm số đồng biến
⇔ y’ > 0
⇔ 1 – x2 > 0
⇔ x2 < 1
⇔ x ∈ (-1; 1).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Kiến thức áp dụng
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định:
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Câu 7:
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Xem đáp án
TXĐ: D = [0; 2]
+ Hàm số đồng biến
⇔ y’ > 0
⇔ 0 < x < 1.
+ Hàm số nghịch biến
⇔ y’ < 0
⇔ 1 < x < 2.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Kiến thức áp dụng
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định:
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Câu 8:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Xem đáp án
a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)
Ta có: y’ = 
> 0 với ∀ x ∈ R.
⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)
⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0
hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)
⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).
b) Xét hàm số y = g(x) = tanx - x - 
trên 
Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ 
⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈
⇒ y = g'(x) đồng biến trên
⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈
Kiến thức áp dụng
+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định:
Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
+ 